Математика без арифметики

Что за чушь? — спросит читатель. — Разве может быть математика без арифметики? Ведь арифметика — основа любой математики, которая без арифметики просто не существует…

И будет безусловно прав.

Однако когда начинаешь анализировать утверждения историков о том, что индейцы Мезоамерики обладали развитым математическим знанием, возникает ощущение именно как раз той самой «математики без арифметики», которой и быть-то не может…

Но обратимся к первоисточникам.

В текстах майя довольно давно исследователи выделили символы, которые явно отображали некие числа. Дальнейший анализ позволил достаточно детально определить систему, которой пользовались майя для того, чтобы записать то или иное число. В принципе, она оказалась довольно простой.

Основных цифр использовалось всего две: точка обозначала единицу, а черточка — пятерку. Разными комбинациями этих двух символов отображались числа от 1 до 19, значение которых определяется путем простого суммирования значений символов, используемых в комбинации — см. рис. 175. Говоря другими, специальными, словами: майя использовали здесь аддитивную форму записи чисел.

Была еще одна цифра — эквивалентная нашему нулю, которая изображалась в виде стилизованной раковины. Причем считается, что майя начали использовать ноль задолго до того, как он появился в странах Старого Света. И эта цифра — то есть ноль — оказывалась для индейцев весьма полезной, поскольку для записи других (больше 19) чисел они вводили дополнительно позиционный принцип, когда значение числа определяется не только используемыми для записи символами, но и положением этих символов, то есть, говоря другими словами, разрядом символа. Звучит все мудрено для непосвященных, но это — привычный для нас принцип записи чисел в десятеричной системе. Только у майя число записывалось не горизонтально, как у нас, а вертикально, и основание системы было равно не десяти, а двадцати.

Считается, что основание, равное двадцати, тоже имело вполне приземленную причину — количество пальцев на руках и ногах у стандартного человека (как и основание 10 по сумме пальцев на руках). И в принципе, основание не 10, а 20 для позиционной системы записи ничем не хуже. Тут все — дело привычки. Кому-то (скажем, как это было для компьютерщиков на заре кибернетики) проще ориентироваться, например, в восьмеричной и даже двоичной системе записи…

Для каждого разряда использовалось свое название — свой иероглиф: «кин», «винал», «тун», «катун» и так далее (типа как у нас — «единица», «десятка», «сотня», «тысяча»). Однако в отличие от привычной нам системы записи, у майя в их двадцатеричной было одно (достаточно странное) исключение — в одном месте основание вдруг менялось с 20 на 18. Причем почти сразу — буквально в следующем за первой двадцаткой разряде, а далее все возвращалось к той же самой двадцатке, что приводило к последовательности в виде:

Кин = 1

Виналь = 20 кинов = 20

Тун = 18 виналов = 360

Катун = 20 тунов = 7200

Бактун = 20 катунов = 144 000

Пиктун = 20 бактунов = 2 880 000

Калабтун = 20 пиктунов = 57 600 000

Кинчильтун = 20 калабтунов = 1152000000

Алавтун = 20 кинчильтунов = 23040000000

… и так далее.

В современных текстах о майя, чтобы не рисовать иероглифы, применяется более привычный нашему глазу метод записи их чисел, который использует точки для обозначения разрядов. Например: 3.12.11.0 — это 3 катуна, 12 тунов, 11 виналов, 0 кинов, что составляет число, равное 3х7200+12х360+11х20+0х1 = 26140.

Если, уважаемый читатель, Вы разобрались с этим, то это — все: вы уже усвоили полностью всю (!!!) «математику» майя!..

И бесполезно искать в майянских текстах что-то похожее на правила сложения дробей, как у древних египтян, или стандартизированные методы вычисления площадей трапеций, как у древних шумеров. Ничего подобного в индейских текстах нет!..

Тогда какая же это математика?!. Это — всего лишь система записи чисел, если использовать правильную терминологию!.. Не меньше, но и не больше!..

Например, многие восхищаются тем, что майя могли с помощью этой системы записывать очень большие числа. Ну, могли. Ну и что?… Это можно сделать с помощью абсолютно любой известной нам системы записи чисел. Только к термину «математика», и уж тем более к «развитому математическому знанию», это не имеет никакого отношения.

А где же тогда то самое хваленое «развитое математическое знание»?…

Его нет. Оно лишь в головах историков и различного рода «исследователей». Мираж, порожденный очередным кривым зеркалом преувеличений…

Г.Ершова в своей книге «Древняя Америка: полет во времени и пространстве» пишет: «Судя по свидетельствам испанцев, индейцы очень быстро считали и легко могли оперировать огромными числами. Согласно описаниям, математики, а также «бухгалтеры» майя пользовались оригинальным приспособлением из камешков наподобие счетов. Даже на древних изображениях мы видим сидящих рядом с правителями придворных, занятых важными хозяйственными подсчетами. Перед ними разложены мелкие предметы (камешки), в руке у каждого палочка».

Думаю, что, случайно или нет, Ершова привела весьма удачный образ для сравнения — бухгалтерские счеты, которые современное молодое поколение, возможно, уже и не знает, но которые очень широко использовались не только в бухгалтерии, но и в торговле непосредственно вплоть до замещения их калькуляторами. Дело в том, что в них используется фактически тот же самый принцип, на котором выстроена система записи чисел майя, — комбинированный аддитивно-позиционный принцип. Костяшки счетов представляют собой единицы, а проволочки, на которых расположены костяшки, — соответствующий разряд числа (только в нашей десятеричной системе).

Тому, кто знаком с приемом счета на бухгалтерских счетах (прошу прощения за невольный каламбур), не составит труда наглядно представить себе, как считали индейцы, удивившие этим испанцев. Как только в каком-то разряде (на какой-то проволочке) сумма единиц (костяшек) достигает десяти, они сбрасываются на ноль, а на следующем разряде добавляется единица (костяшка). Результат действия тут же представляется наглядным образом: количество костяшек на определенной проволочке — это значение числа в соответствующем разряде (количество единиц, десятков, сотен и так далее). Все предельно просто и без какой-либо «развитой математики».

Удивление испанцев еще можно понять, ведь среди них не так много было математиков и профессиональных бухгалтеров или хотя бы ростовщиков, привыкших к оперативному счету. Среди конкистадоров преобладали искатели приключений и наживы, многие из которых вообще не умели толком писать и считать. Но нам-то чему удивляться и чем восхищаться?!.

Таким способом можно отображать и складывать любые числа, в том числе и «огромные»: нужно лишь достаточное количество проволочек на счетах (или ячеек в сеточной таблице, которую использовали индейцы вместо счетов с костяшками) — соответственно разрядности чисел, с которыми проводятся операции.

Данный принцип счета был бы совсем легким, если бы речь шла об оперировании в такой системе записи, где основание всегда одно и то же. Но даже и то, что в системе майя на третьем разряде имеет место нестандартный «выверт» — основание меняется с 20 на 18 с последующим возвратом к 20 — не особо затрудняет процесс.

В случае конструкции бухгалтерских счетов для системы майя могло бы быть применено, скажем, использование на всех проволочках по 20 костяшек, а на одной — третьей снизу — только 18 костяшек. Нечто подобное есть и на наших бухгалтерских счетах, где четыре костяшки некоторые использовали для счета полтинников (монета в пятьдесят копеек), а кто-то просто в качестве визуально наглядного разделения рублей и копеек. Только индейцам — при отсутствии физических костяшек на проволочках — ограничение одного разряда с 20 до 18 нужно было постоянно держать в голове…

Но… Снова есть небольшое «но».

Г.Ершова не конкретизирует, какие именно операции производили индейцы со своими камушками и палочками. Небольшая «недоговорка» в итоге создает представление об индейцах как о прямо-таки фантастических счетоводах с идеально отработанной технологией счета. Снова порождается некоторое «преувеличение» со всеми вытекающими отсюда последствиями кривого зеркала — разговорами о «развитом математическом знании»…

Дело в том, что принцип устройства бухгалтерских счетов (равно как и система записи чисел майя) позволяет выполнять легко только одну-единственную и самую простую арифметическую операцию — сложение (ну, и — при некотором навыке — обратную к ней операцию вычитания). Только лишь!..

Куда дальше Г.Ершовой заходит в своих утверждениях Питер Томпкинс — представитель противоположного, «альтернативного» исторического лагеря. В своей книге «Тайны мексиканских пирамид» Томпкинс пишет:

«Благодаря системе шахматной доски майя умели обращаться с очень большими числами без особых усилий. Их система была настолько проста, что четырехлетний ребенок мог умножать, делить и извлекать квадратные корни, не нуждаясь в запоминании таблицы умножения. При этом система была настолько универсальна, что домохозяйка могла с ее помощью рассчитывать свой бюджет, а астроном мог составить карту движения звезд на столетие, чтобы вычислить, когда наступит новое затмение… В своей книге «Математическая наука у майя» мексиканский инженер Гектор М. Кальдерон тщательно проанализировал математическую систему майя. Он пишет, что майя умели решать сложные математические задачи… Посредством очень простой системы зерен двух цветов, которые изображены на их памятниках, рисунках, одежде и ковриках, майя могли заниматься хронологическими вычислениями, астрономией, техническим проектированием и архитектурой».

Я еще могу себе представить, что в результате некоторой тренировки можно удерживать в голове ограничение третьего разряда числом 18 вместо 20, и с помощью этого проводить такое нехитрое действие как сложение пары чисел. Однако редкий четырехлетний ребенок вообще умеет заниматься сложением. Да и навык общения со счетами требует определенного времени обучения. Так что тут Томпкинс, мягко говоря, погорячился.

И совсем он уже ударился в фантазии, когда решил усилить воздействие на читателя упоминанием умножения, деления и даже извлечения квадратного корня. Мне, например, не известны в истории четырехлетние дети, которые бы знали, что такое вообще «квадратный корень»…

Но дело даже не в этом, а в том, что принцип построения бухгалтерских счетов — равно как и аналогичный принцип счета камушками по разрядной сетке — совершенно не приспособлен для быстрого исполнения операции умножения. В этом случае максимум, что можно сделать — это на самом деле лишь заменить умножение на операцию сложения соответствующее количество раз. Умножение на небольшие числа таким образом еще как-то можно выполнять, но попробуйте даже на привычных счетах помножить, скажем, 513 на 458 — придется 458 раз (!) добавлять число 513. Другого варианта нет!..

Кстати, авторитетнейший специалист по майянским текстам Майкл Ко в своей книге «Майя. Исчезнувшая цивилизация: легенды и факты» упоминает мимоходом про некую «таблицу «Дрезденского кодекса», которая включает в себя таблицу умножения числа 78». Спрашивается, зачем было бы включать в такой важнейший документ (который содержит в себе известные астрономические таблицы майя), какую-то дополнительную таблицу умножения, если бы эта операция выполнялась легко и свободно?!.

Но даже если сделать скидку на то, что операцию умножения все-таки как-то можно выполнять, пусть и заменяя ее сложением, то для операций деления (и уж тем более извлечения квадратного корня), принцип счета по сетке (аналогичной бухгалтерским счетам) не приспособлен абсолютно. Попытка деления всего лишь на 2 уже выльется в довольно непростой алгоритм, а на 3 и более приводит к таким сложным процедурам, что проще будет вообще не заниматься делением.

Более того. Не очень значительный для простого сложения «недостаток» со сменой основания в третьем разряде довольно сильно усложняет другие арифметические операции — даже операцию умножения, ведь нужно не промахнуться с поправками на основание разряда такое количество раз, на сколько идет умножение (разлагаемое на операции сложения).

Впрочем, Томпкинс тут же это и демонстрирует, показывая насколько легко тут ошибиться с поправкой: приводя пример даже простого сложения чисел, он моментально забывает о смене основания разряда и использует везде шаг в 20 раз: 1 — 20 — 400 — 8000 — и так далее…

Что уж говорить об утверждении Кальдерона об астрономических вычислениях, техническом проектировании и архитектуре. Это — уже даже не кривое зеркало, а просто полет буйной фантазии. Метод аддитивно-позиционного представления числа позволяет всего лишь хорошо складывать числа на бухгалтерских счетах или их подобии, но от этого простого действия до операций, перечисляемых Кальдероном, такое же расстояние, как от бумажного голубя до реактивного лайнера…

Любопытно, что использованный майя принцип записи чисел, представляет именно комбинацию аддитивного и позиционного принципов. При этом, для аддитивной части представления числа используются самые простейшие символы — точки и черточки, а вот для чисел, соответствующих основаниям разрядов и относящихся к позиционной части записи, — довольно замысловатые иероглифы. Получается какой-то странный гибрид ужа с ежом… Неужели нельзя было найти символы попроще?… Есть ведь крестики, кружочки, треугольнички…

Есть тут какая-то искусственность, но какая — пока сформулировать до конца не удается…

Кстати, есть еще одна странность, которая касается как раз «кружочка» — то есть нуля, который у майя тоже представлен не самым простым символом — каким-никаким, а рисунком, пусть даже всего лишь в виде стилизованной раковины.

Использование индейцами нуля принято считать чуть ли не величайшим достижением. А уж то, что в этом они опередили народы Старого Света, прямо-таки с гордостью за майя стремится упомянуть практически каждый автор книг по истории Мезоамерики, вновь упоминая про «развитое математическое знание». Только есть ли, чем тут гордиться?…

Ноль, действительно, совершенно не лишний элемент в представлении числа. И с точки зрения системы записи чисел (о которой, собственно, и нужно говорить применительно к майя) он во многом упрощает задачу. Но что будет с точки зрения именно математики?…

А вот для математики, и особенно для математических операций, ноль способен создавать целый ряд проблем. Особенно если речь идет о современной математике и ее физических приложениях. Дело в том, что на ноль нельзя делить!.. Ноль — это своеобразное «исключение из правил». В результате таких его особых свойств, скажем, в любой теории функций с нулем приходится буквально бороться специальными методами.

Простому человеку, далекому от высшей математики, довольно сложно представить себе математику без нуля, и, естественно, введение такого понятия кажется действительно серьезным завоеванием майя. Однако в современной науке под названием «высшая математика» уже имеют место попытки построения математики без нуля, которая, благодаря отсутствию этого «особого числа», предоставляет целый ряд преимуществ…

Так что и с появление нуля у майя далеко не все однозначно: с точки зрения простого представления чисел, это — шаг вперед; а вот с точки зрения современной высшей математики, это событие можно расценивать и как шаг назад!..

Как бы то ни было, появление нуля в системе представления чисел майя понятно и логично. А вот зачем понадобилось менять в одном месте — на третьем разряде — само основание системы счета с 20 на 18?… Подобное искажение единой линии представляется нелогичным и даже неудобным.

Большинство историков сходится в том, что данное искажение было неким образом связано с астрономическими и календарными вычислениями майя. И на это подталкивает еще одна особенность индейской «математики». Дело в том, что в сохранившихся письменных источниках изображения чисел так или иначе привязаны именно к счету дней.

Мне неизвестно, насколько всеобъемлюща эта закономерность. Однако ни в одном из приводимых в доступной литературе переводов текстов майя мне не доводилось встречать, например, счета каких-то предметов или численности армии. Текстов типа «у него было пять наложниц» или «он со своими двадцатью сторонниками» и тому подобное не встречается нигде!.. Только счет в днях от какой-то «нулевой даты».

Конечно, если судить по приводимым историками описаниям испанских конкистадоров и хронистов, индейцы считали не только дни. Но почему тогда это никоим образом не нашло отражения в письменных источниках?… Я не беру тут в расчет так называемое «рисуночное письмо», которое к понятию «развитой письменности» не имеет отношения…

Ведь если дело обстоит именно так, если фиксировался только счет дней, то сам по себе факт столь избирательного использования чисел довольно значителен. Система записи в таком случае теряет еще один признак связи с математикой, один из основных принципов которой заключается в абстрагировании от предмета счета. У майя же мы никакого абстрагирования не наблюдаем. Все получается привязано именно к счету дней…

Но если принять за данность такую привязку, странности искажения системы записи чисел в третьем разряде действительно можно дать более-менее правдоподобное объяснение. Эта запись адаптирована под 360-дневный год, в котором 18 месяцев по 20 дней. И эта адаптация позволяет не только производить подсчет количества 360-дневных лет по уже простой двадцатеричной системе (без каких-либо «исключений» в разрядах), но и легко переходить от счета в днях к счету в годах и наоборот.

Для примера: дата 5.11.7.9.18 означает количество дней, равное 5х144000+11х7200+7х360+9х20+18х1 = 801918. Если перейти теперь к системе с 360-дневным годом, то последняя «цифра» в записи будет означать день месяца, предпоследняя — номер месяца, а остаток (исходная запись с отброшенными двумя последними разрядами) будет означать количество 360-дневных лет. В приводимом примере получим: 18-й день 9-го месяца года, который будет иметь вид 5.11.7 в обычной двадцатеричной системе счета. Или, переходя к обычной нам десятеричной системе (учитывая, что 5х400+11х20+7х1=2227), получим 18-й день 9-го месяца 2227 года.

Действительно, удобно. Но…

Опять возникает «но»…

Если перейти от формально-математических лет к реальным годам, то счет получается довольно приблизительный. Это, конечно, не наша привычная фраза типа «где-то лет десять-двенадцать назад», но все-таки. Погрешность в 5 с лишним дней за год — довольно существенна. Даже в приведенном несколькими строками выше примере ошибка составит около трех десятков лет, то есть что-то сопоставимое по порядку величины со средней продолжительностью жизни того же индейца майя.

А где же тогда хваленая точность календаря майя?!.