Красное и черное

Согласно одной из легенд, рулетку случайно изобрел Блез Паскаль (разделенное на секторы колесо было частью прототипа вечного двигателя, который на склоне лет пытался построить отец теории вероятности). Но использовать колесо в качестве своеобразного генератора случайных чисел придумал якобы не сам ученый, а один из его приятелей, склонный к азартным играм[Мне не удалось найти достоверных свидетельств ни в поддержку этой версии, ни против нее. Большинство сайтов, посвященных казино, не задумываясь переписывают один и тот же текст, в котором утверждается, что Блез Паскаль случайно изобрел рулетку то ли в 1657, то ли в 1665 году. При том что Паскаль действительно интересовался математикой азартных игр, к 1657 году его интерес как к математике, так и к азартным играм заметно угас - тремя годами раньше у Паскаля было религиозное видение, после которого он несколько отошел от точных наук и стал уделять больше внимания религиозным вопросам. О каких-либо достижениях Паскаля в постройке вечного двигателя мне тоже ничего не известно (возможно, в одном из первых вариантов этой легенды имелась в виду циклоида, свойства которой Блез Паскаль изучал в 1658 году, но она к вечным двигателям отношения не имеет). Что же касается второй даты, то создание рулетки Паскалем в 1665 году еще более сомнительно, поскольку к этому времени ученый был уже три года как мертв. - В.Г]. По другой версии, рулетку придумали в Китае, а в Европу ее привезли монахи-доминиканцы. Как бы то ни было, создатель рулетки подкинул будущим поколениям задачу, не уступающую по безнадежности задаче постройки perpetuum mobile. Рулетке, как минимум, несколько сотен лет, а оптимальные стратегии для игры в нее разрабатываются до сих пор. Выиграть на рулетке можно. Выигрывать - нет.

Сами казино - в отличие от игроков - предпочитают не полагаться на удачу. За редким исключением (блэкджек, покер) игры, которые можно найти в казино, «спроектированы» так, что заведение в долгосрочной перспективе в накладе не останется. В общем случае обанкротить казино игроки могут, лишь если перестанут в него заходить.

Рулетка не является исключением. Игрок находится в менее выгодном положении. У него и казино почти равные шансы, но с помощью зеро и (в американском варианте колеса) двойного зеро казино обеспечивает себе перевес. За счет зеро вероятность выигрыша для игрока, ставящего на красное, составляет не 50%, как можно было бы ожидать, а 48,65% (18/37). Ровно такая же ситуация у игрока, ставящего на черное. Разница между суммой шансов двух игроков, чьи ставки покрывают почти всю поверхность стола, и суммой вообще всех шансов часто называется долей заведения. На рулетке с одним зеро доля заведения составляет 2,7% (1/37). На рулетке с двойным зеро она вдвое больше.

Чтобы привлечь игроков, владельцы казино порой вводят дополнительные правила, призванные уменьшить свою долю и повысить шансы игрока. Одно из самых распространенных дополнений заключается в том, что фишки, проигранные заведению на зеро, сгорают не сразу. Вместо этого игроку предоставляется выбор: либо он забирает половину своей ставки сразу, либо оставляет ставку на следующий круг. Если она выиграет, игроку отдают ставку целиком (но без выигрыша). Это правило уменьшает долю заведения примерно вдвое.

Математика рулетки очень проста. «Шарик не имеет памяти», каждая ставка абсолютно независима, вероятность выигрыша любой человек может представить в уме (хотя бы в виде натуральной дроби). И тем не менее неглупые, казалось бы, люди тратят годы на разработку оптимальных стратегий, призванных сделать игру в рулетку прибыльной.

Дело в том, что поверить в убыточность рулетки мешает элементарный здравый смысл. Да, разумеется, мы не можем повлиять на колесо, но ведь есть еще один параметр - размер ставок. Не нужно быть семи пядей во лбу, чтобы придумать стратегию, которая в конечном счете гарантирует игроку выигрыш. Для достижения такого результата нужно всего лишь каждый раз увеличивать ставку в несколько раз. Рано или поздно удача повернется к игроку лицом, и он не только вернет свои деньги, но еще и обыграет казино.

Стратегия, основанная на удвоении ставки при каждом проигрыше, называется Мартингейл и является, наверное, самой старой системой игры в рулетку. В идеальном случае она действительно гарантирует выигрыш, однако для этого требуется выполнение сразу нескольких условий:

у игрока, пользующегося системой Мартингейл, должен быть бездонный карман;

в казино не должно быть ограничения на максимальный размер ставки.

Очевидно, что второе условие сильнее первого. Если в казино установлен максимальный размер ставки (а в современных заведениях так и сделано, без исключений), то финансовая состоятельность игрока для исхода игры значения не имеет. Кроме того, эффективность применения Мартингейла даже при удачном стечении обстоятельств вызывает большие сомнения (см. табл. 1):

Выиграв на девятом шаге, мы можем заработать 256 долларов, что всего на доллар больше, чем мы уже потратили. Проигрыш увеличит сумму наших затрат до 511 долларов. Шансы при этом не меняются и составляют 18/37. По сути, благодаря следованию системе Мартингейл мы вынуждены поставить 256 долларов, чтобы выиграть всего один доллар. И сколько бы мы ни играли, максимум, что может обеспечить Мартингейл, - выигрыш в размере первоначальной ставки.

Опыт подсказывает нам, что шарик, девять раз подряд попадающий на черное, - событие крайне маловероятное (18/37 в девятой степени, или 0,1526%). К сожалению, низкая вероятность этого события не имеет никакого отношения к тому, что сейчас шарик с одинаковой вероятностью может попасть как на красное, так и на черное, и с меньшей, но ненулевой вероятностью - упадет на зеро. Вероятность попадания шарика на любой из цветов ничуть не отличается от обычной и равна 18/37.

Это, в свою очередь, не исключает того, что бесконечные или просто длинные серии постоянно удваиваемых ставок опасны для казино. Поэтому в большинстве игорных заведений правила составлены таким образом, что при удвоении вы до девятого шага просто не доберетесь - максимальная разрешенная ставка в лучшем случае будет в сто раз выше минимальной, что дает нам не более семи шагов, а как правило - не более пяти.

Вернемся на минутку к шарику, девять раз подряд падающему на черное. Если рассматривать серию ставок в совокупности, то шансов на то, что неблагоприятная для игрока серия прервется сыгравшей ставкой, действительно больше (необязательно, конечно, на девятом шаге). Другими словами, игроки, работающие по системе Мартингейл, на самом деле чаще выигрывают. Однако это нисколько не улучшает их благосостояния, потому что частые мелкие выигрыши с лихвой компенсируются нечастыми, но очень крупными проигрышами.

Система, правилами которой предписывается увеличивать ставку на проигрыше, называется системой с негативной прогрессией. Кроме классического Мартингейла системами с негативной прогрессией являются Супер-Мартингейл (здесь игрок удваивает ставку и добавляет к ней еще один номинал, то есть прогрессия выглядит следующим образом: 1-3-7-15-31…), Голландская Система (1-3-5-7-9; в этом случае для покрытия убытков одного выигрыша будет недостаточно) и т. д.

К системам с негативной прогрессией можно отнести и систему д’Аламбера[В статьях Д. Лесного, опубликованных на www.cgm.ru, термин «система д’Аламбера» используется для обозначения всех систем с негативной прогрессией, а описываемая система называется «системой Томаса Дональда»], по которой игрок должен увеличивать ставку на единицу при проигрыше и уменьшать на единицу при выигрыше. Игра ведется только на равные шансы (то есть игрок ставит либо на красное-черное, либо на чет-нечет). Система построена на предположении, что в серии спинов красное и черное выпадают относительно равномерно. На практике это не так: почти одноцветные серии не такая уж и редкость. В оправдание д’Аламбера следует сказать, что сам он в подобные системы не верил, и его именем система названа скорее по недоразумению.

Еще одна популярная система - Cancellation - довольно сложна в применении, но по сути не слишком отличается от Мартингейла (табл. 2). Перед тем как сделать первую ставку, игрок на бумажке выписывает десять чисел. Первая ставка - это сумма первого и последнего числа (в нашем случае - 11 фишек). Если ставка сыграла, то «счастливые номера» зачеркиваются, последовательность на два числа уменьшается, а мы переходим к следующей граничной паре чисел. Если ставка проиграла, то нижнее число увеличивается на сумму этих двух чисел (в нашем случае - 11 фишек на первом проигрыше, но на самом деле числа могут быть любыми; с тем же успехом начальная последовательность могла состоять из десяти единиц, тогда мы бы увеличивали «несчастливый номер» при первом проигрыше на два). И так, пока не окажутся зачеркнутыми все числа.

Очевидно, что никаких принципиальных отличий от Мартингейла в этой системе нет. Увеличение ставки на проигрыше позволяет при удачном стечении обстоятельств компенсировать предыдущие проигрыши, а при неудачном - спустить деньги гораздо быстрее, чем это сделают менее образованные соседи по столу[Подробный анализ системы Cancellation сделал на своем сайте известный эксперт Майкл Шейклфорд (Michael Shackleford), см. wizardofodds.com/gambling/tenbet.html

Сегодня житель любого крупного города может проиграть определенное количество лишних денег в казино. В советское время такой возможности не было, но существовала другая народная забава - еженедельный розыгрыш «Спортлото» на карточках двух видов. В зависимости от выбранной лотереи необходимо было угадать 5 номеров из 36 или 6 номеров из 49. А в воскресенье встать пораньше, включить телевизор и начинать волноваться под музыку группы «Зодиак».

Несложная задача спровоцировала настоящий взрыв околоматематической самодеятельности. Даже человеку, знакомому с основами теории вероятностей, не хочется верить, что вероятность выпадения комбинации 1, 2, 3, 4, 5 ничуть не ниже, чем любой другой.

Самые дотошные и усидчивые создавали целые реестры с результатами предыдущих тиражей, чтобы отметить наиболее часто или, наоборот, наиболее редко выпадавшие числа. На рулонах миллиметровки рисовались графики распределения вероятности или (такое тоже было) малопонятные непосвященным диаграммы, в которых результаты одного тиража соединялись стрелочками с результатами других тиражей. Самые трудолюбивые строили собственные модели лототронов, рассчитывая на то, что таким образом можно подобрать настоящую случайную комбинацию (это мое предположение; я не знаю, зачем они строились, но собственными глазами видел маленький домашний лототрон, который регулярно, но безуспешно использовался в качестве предсказателя).

Как и в случае с рулеткой, ни одна из подобных систем не могла значительно повысить вероятность выигрыша (при игре на нескольких билетах вероятность, конечно, возрастает, хотя правильное заполнение тоже играет роль - по крайней мере, если говорить не только о главном выигрыше, но и о шансах на угадывание трехзначных комбинаций). Кроме того, отдельные системы максимизировали возможный выигрыш за счет выбора непопулярных и неочевидных комбинаций (в «Спортлото» призовой фонд делился между всеми счастливчиками, поэтому чем меньше людей отметило ту же комбинацию, что и вы, тем лучше). Но и только.

Игрок делает первую ставку, ставя на кон первую из двух фишек. Если он выигрывает, то следующая ставка состоит из трех фишек (одну из которых он только что выиграл). Если игрок выигрывает и второй раз, то он забирает четыре из шести выигранных фишек, оставляя на столе только две фишки. Если удача ему не изменяет, то на столе теперь уже четыре фишки. К ним игрок добавляет еще две - и снова делает ставку. Теперь, если он выигрывает, его суммарный выигрыш составляет 14 фишек - что не так уж плохо, если вспомнить, что в начале игры их было всего две (первую игрок израсходовал на первую ставку, а второй увеличил следующую ставку до трех фишек).

Если хотя бы на одном шаге случается проигрыш, все начинается сначала.

Очевидно, что, следуя такой стратегии, невозможно быстро проиграться. Выигрывать, к сожалению, тоже не удастся, потому что для достижения максимального выигрыша необходимы четыре сыгравшие ставки подряд, а вероятность этого события составляет 5%. Во всех остальных случаях вы либо удвоите свой банк, либо проиграете, либо останетесь при своих. Но по сравнению с Мартингейлом у стратегии 1-3-2-6 есть еще одно достоинство: игроку, который следует описанным правилам, гораздо легче встать из-за стола, поскольку желание отыграться у него слабее.

Стратегии, в которых требуется увеличивать ставку после выигрыша, называются стратегиями с позитивной прогрессией. Классической системой такого рода является стратегия, требующая увеличивать ставку после каждого выигрыша. Сильным местом всех без исключения систем с позитивной прогрессией является защита банка - как правило, все они построены так, что начиная с определенного момента вы играете уже на выигранные деньги, не рискуя своими. Но на результатах это особо не сказывается. Играя с позитивной прогрессией, вы уменьшаете скорость игры и возможный выигрыш. И только у казино остаются законные два с копейками процента, которые не зависят от выбранной игроком системы.

За 36 спинов в среднем выпадает только 24 номера (то есть 2/3). Таким образом, максимум 12 номеров повторяются, «играют» более чем один раз. Больше того: маловероятно, что повторяется каждый из 12 номеров. Куда логичнее ожидать, что некоторые номера повторяются два и более раз.

И если знать, какие номера выпадают чаще, то выигрыш просто-таки неминуем. На этом принципе построена одна из популярных систем, суть которой заключается в следующем. Некоторое время игрок не делает ставок, наблюдая за тем, какие ставки выигрывают. Как только он замечает повторяющийся номер, он немедленно ставит на него. И так 36 раз. Если за 36 спинов повторяющийся номер выпадет еще раз, игрок будет в плюсе (в худшем случае на 36-м спине он останется при своих), если нет - потеряет 36 фишек. Возможный выигрыш меньше возможных потерь - с каждым новым спином чистая прибыль уменьшается (если нужный номер выпал на 35-м шаге, то прибыль составляет всего одну фишку; если на 34-м - то две и т. д.), тогда как убыток при проигрыше неизменен.

Кроме того, само предположение, что выиграет именно тот номер, который выпал уже два раза, ничуть не лучше предположения, что выиграет любой произвольный номер. С тем же успехом можно ставить на 35 или 12 - результат не изменится. Вероятность выпадения произвольного номера в серии из 36 спинов составляет почти 63%, независимо от того, повторяющийся он или нет.

У нас эта система известна под названием Биарриц (правда, в классической системе Биарриц рекомендация по выбору номера ровно обратная - нужно выбирать номер, который выпадает реже остальных).

Список систем игры в рулетку можно продолжать еще долго, однако суть от этого не изменится. Играя по системе с позитивной прогрессией, вы, как правило, проигрываете, но понемногу, надеясь рано или поздно сорвать куш. Играя по системе с негативной прогрессией, вы, как правило, выигрываете по маленькой, но рискуете спустить все, попав на неудачную серию. В долгосрочной перспективе эффективность практически всех систем (за исключением безлимитного Мартингейла) упирается в пресловутые два процента, которые составляют долю казино. Вы можете проигрывать деньги быстрее, вы можете проигрывать медленнее, но если вы хотите играть в рулетку с положительным матожиданием, то вам нужно организовывать собственное казино. Других вариантов нет. Точнее, почти нет.

Наверняка неплохо в финансовом отношении чувствуют себя многочисленные авторы новых и супернадежных систем игры в рулетку. Судя по отзывам неблагодарных покупателей, на рынке по большей части продаются слегка причесанные версии Мартингейла, который, как мы выяснили выше, для игрока скорее опасен, чем полезен. Деятельность таких экспертов в общем-то мало чем отличается от мошенничества, но формальных поводов для придирок немного - как правило, более или менее вменяемые авторы систем «честно» предупреждают покупателей, что их система работает не всегда и многое зависит от удачи (впрочем, есть и такие уникумы, которые гарантируют игроку положительное матожидание). Вернуть негодный товар продавцу покупатель, как правило, не может, поскольку торговцы предпочитают не указывать свой адрес. Вот и остается незадачливым игрокам поносить бывших кумиров на интернет-форумах, надеясь, что это охладит наивных любителей рулетки, которые жаждут верного рецепта легкой наживы за 25 долларов с доставкой.

«Профессиональных» игроков в рулетку - то есть людей, зарабатывающих деньги на игре при помощи верно выбранной стратегии, - не существует. Но люди, которым удавалось подманить удачу, все же есть.

- К черту дураков, играющих по какой-то системе, - закричал он, в то время как крупье собрал со стола все его ставки.

(Джек Лондон. «Малыш видит сны»)

Герои рассказа «Малыш видит сны» не могли пожаловаться на невезение. Смок и Малыш создали свою «систему», успех которой был основан на том, что рассохшееся от каминного жара колесо рулетки вело себя предсказуемо. Подобная история произошла в действительности: в 1873 году британский инженер Джозеф Джеггерс (Joseph Jaggers) выиграл больше трехсот тысяч долларов в казино Монте-Карло.

Может показаться, что сегодня, когда технологии вышли на совершенно иной уровень, повторить подобный успех невозможно, однако в 90-х гг. прошлого века трюк Джеггерса - с определенными вариациями - был повторен. Испанский продюсер и математик-любитель Гонсало Гарсия-Пелайо (Gonzalo Garcia-Pelayo) обратил внимание, что в мадридском казино на некоторых колесах одни и те же номера повторяются чаще остальных, и сформировал семейную команду, которая за два года выиграла больше 2 млн. долларов. В 1992 году Гонсало внесли в блэк-листы, и он потратил десять лет для того, чтобы добиться оправдания, поскольку не считал и не считает свои действия мошенничеством. Суд вынес окончательное решение по делу только в июне прошлого года: отныне Гонсало может свободно посещать казино. Однако сам игрок, по-видимому, судился из принципа и возвращаться к рулетке не намерен. Зато в его планах отсудить у казино потерянные за вынужденное время простоя выигрыши (по оценке Гонсало, речь идет о сумме 1,2 млн. евро).

Но место падения шарика зависит не только от колеса. Начальный импульс шарику придает рука дилера. Не может ли случиться так, что дилер автоматически кидает шарик с примерно одинаковым усилием, что позволяет угадать хотя бы сектор, в который упадет шарик. Игроки на рулетке задались этим вопросом давно, но до сих пор не существует статистики, подтверждающей или опровергающей это предположение. Трудность, прежде всего, заключается в том, что собрать данные по конкретному дилеру очень трудно. Кроме того, не факт, что дилер, знающий о внешнем наблюдении, будет кидать шарик так же, как обычно (эксперт по азартным играм Фрэнк Скоблете остроумно сравнил эту ситуацию с квантовой механикой, в которой присутствие наблюдателя влияет на результат наблюдений; (scoblete.casinocitytimes.com/articles/151.html).

Можно ли оценить, куда упадет шарик, зная скорость и его движения и скорость движения колеса? Разумеется, можно, хотя оперативно провести такие вычисления в уме нереально. Следовательно, нужно использовать компьютер. Первое специализированное устройство, способное с определенной точностью предсказывать, куда упадет шарик, построили в 1961 году Клод Шэннон (Claude Shannon) и Эд Торп (Edward Thorp), сделавшие в 1966 году свои изыскания достоянием общественности (www.c2000.cc.gatech.edu/classes/cs8113c_99_spring/readings/thorp.pdf) . В 70-х гг. прошлого века группа аспирантов Университета Санта-Круз попробовала организовать команду для игры в рулетку. Члены команды использовали переносные компьютеры для расчета места падения шарика, но несмотря на удачную в целом игру группа вскоре распалась (подробнее см. «КТ» #540).

Финансовый итог эксперимента был положительным, но скромным: после двух лет разработки компьютерной системы «эвдемоны» (так они себя называли) заработали порядка 10 тысяч долларов и разошлись. В прошлом году не без помощи хайтека три игрока из Восточной Европы нагрели лондонское казино «Ритц» на 1,3 млн. фунтов стерлингов - причем суд встал на их сторону, поскольку использованные устройства не могли повлиять на движение шарика.

Мы знаем, что выигрывать на рулетке, применяя одну из успешных стратегий, невозможно. История азартных игр знает несколько случаев, когда игрокам удавалось обыграть казино с помощью, в общем-то, недозволенных приемов. Но удивительное дело: как правило, известные игроки, добившись успеха в рулетке, теряли к игре интерес и уходили на покой. Конечно, во многих случаях они это делали не без давления со стороны казино, но Эду Торпу, аспирантам-"эвдемонам" и даже Гонсало Гарсия-Пелайо вход в игорные заведения не был заказан.

Дело, видимо, в том, что - как ни странно это прозвучит - главным стимулом для самых успешных игроков на рулетке были не деньги. Или - не только и не всегда деньги. Главным стимулом была победа - в ситуации, когда победа невозможна. И эта победа куда дороже верных двух процентов, которые оставляет себе казино.

На этом месте должна была быть гневная филиппика в адрес интернет-казино, обирающих наивных игроков, но, пообщавшись с администратором одного из таких заведений, я понял, что игра в реальном казино тоже никаких гарантий честности не дает. В конце концов, колесо может управляться дистанционно, и, разумеется, не в пользу игрока (модели колес, обеспечивающие «минимальную вероятность попадания шарика в заданный сектор», на российском рынке присутствуют). Да мало ли что еще… Кроме того, перед удачливым игроком стоит еще одна задача - забрать деньги. Сейчас, конечно, обстановка вокруг казино менее криминогенная, чем в 90-х, но гарантий, что вам удастся забрать действительно крупный выигрыш, - нет.

Другими словами, у любого казино есть масса возможностей обмануть игрока, даже если удача была на его стороне. В случае с интернет-казино ситуацию мог бы исправить независимый посредник, принимающий ставку так, чтобы ПО в казино, выдавая на-гора очередное случайное число, не знало, какие ставки сделаны. Но, видимо, затраты на формирование репутации посредника слишком велики (без доверия игроков он абсолютно бесполезен, а доверие еще нужно заслужить), конкуренция за игрока не слишком остра, и такие решения пока не востребованы.

Чтобы выбрать «правильное» казино, имеет смысл прочитать отзывы на форумах, поинтересоваться финансовой отчётностью заведения и опросить знакомых.