С основами арифметики вы познакомились так давно, что, вероятно, вам трудно представить свою жизнь без этих знаний. Взглянув на число 145, вы без малейших колебаний скажете, что это сто сорок пять.

Понимание двоичных и шестнадцатеричных чисел потребует по-новому взглянуть на число 145 и увидеть в нем не число, а некоторый код для его выражения,

Начнем с малого. Рассмотрим взаимоотношения между числом три и символом "3". Символ числа (цифра) 3 — это некая "закорючка" на листе бумаги, число три — это некоторая идея или понятие. Определенная цифра используется для представления определенного числа.

Отличие между идеей и символом становится яснее, если осознавать, что для представления одного и того же понятия могут использоваться совершенно разные символы: три, 3, | | |, III или ***.

В десятичной системе счисления для представления чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Как же представляется число десять?

Здесь возможны разные варианты. Можно было бы для представления этого понятия использовать букву А или "сороконожку" IIIIIIIIII, Римляне использовали символ X. В арабской системе (которой придерживаемся и мы) для представления числовых значений играет роль комбинация базовых десяти цифр. Первая (самая крайняя) позиция, или порядок, используется для единиц, а расположенная слева от нее — для десятков. Следовательно, число пятнадцать представляется как 15 (читается как "один, пять" ), т.е. 1 десяток и 5 единиц.

Итак, вырисовываются некоторые правила, позволяющие сделать ряд обобщений.

1. Для представления чисел по основанию 10 используются цифры 0-9.

2. Порядок представляет собой степень числа десять: единицы (1), десятки (10), сотни (100) и т.д.

3. Поскольку третья позиция в числе представляет сотни, то самым большим двузначным числом может быть 99. В общем случае, используя n позиций, можно представить числа от 0 до (Юп-1). Следовательно, с помощью трех позиций можно представить числа от 0 до (103-1), или 0-999. 

 Отнюдь не случайно мы используем основание 10 — вспомните, ведь у нас на руках 10 пальцев. Однако вполне можно представить арифметику с использованием другого основания. Применяя правила, сформулированные для основания 10, можно описать представление чисел в системе счисления с основанием 8.

010201025301020100

1. Для представления чисел по основанию 8 используются цифры 0-7.

2. Позиции разных порядков представляют собой степени числа восемь: единицы (1), восьмерки (8), 64-ки и т.д.

3. Используя n позиций, можно представить числа от 0 до (8n-1).

Чтобы различать числа, написанные с использованием разных оснований, это основание записывают рядом с числом как нижний индекс. Тогда число пятнадцать по основанию 10 следует записать как 15(10) и читать как "один, пять по основанию десять".

Таким образом, для представления числа 15(10) по основанию 8 следует записать 17(8). Это читается как "один, семь по основанию восемь". Обратите внимание, что это число также можно прочитать как "пятнадцать", поскольку именно его мы и имеем в виду, просто используем другое обозначение.

Откуда взялось число 17? Цифра 1 означает одну восьмерку, а цифра 7 означает 7 единиц. Одна восьмерка плюс семь единиц равно пятнадцати. Рассмотрим пятнадцать

звездочек: *****     *****

*****

Наше естественное желание — создать две группы: одна содержит десять звездочек, а другая — пять. В десятичной системе эта "композиция" представляется числом

15 (1 десяток и 5 единиц). Но те же звездочки можно сгруппировать и по-другому:

****       *******

****

т.е. имеем две группы: с восемью и семью звездочками. Такое распределение звездочек может служить иллюстрацией представления числа 17(8) с использованием основания восемь (одна восьмерка и семь единиц),

Число пятнадцать по основанию десять представляется как 15, по основанию девять — как 16(9), no основанию восемь — как 17(8), а по основанию семь — как 21(7). В системе счисления по основанию 7 нет цифры 8, поэтому для представления числа пятнадцать нужно использовать две семерки и одну единицу.

Как же прийти к какому-нибудь общему принципу? Чтобы преобразовать десятичное число в число с основанием 7, вспомните о значении каждой порядковой позиции. В семеричной системе счисления переход к следующему порядку будет происходить на значениях, соответствующих десятичным числам: единица, семь, сорок девять, триста сорок три и т.д. Откуда взялись эти числа? Так ведь это же степени числа семь: 7^0, 7^0, 7^2, 7^3 и т.д. Построим следующую таблицу:

4 3 2 1

7^3 7^2 7^1 7^0

343 49 7 1

В первой строке представлен порядок числа. Во второй — степень числа семь, а в третьей — десятичное представление соответствующей степени числа семь.

Чтобы получить представление некоторого десятичного числа в системе счисления с основанием 7, выполните следующую процедуру. Проанализируйте, к числам какого порядка может относиться это значение. Возьмем, к примеру, число 200. Вы уже

знаете, что числа четвертого порядка в семеричной системе счисления начинаются с 343, а потому это может быть только число третьего порядка.

Чтобы узнать, сколько раз число 49 (граничное значение третьего порядка) "поместится" в нашем числе, разделите его на 49. В ответе получается число 4, поэтому поставьте 4 в третью позицию и рассмотрите остаток, который в данном случае тоже равен 4. Поскольку в этом остатке не укладывается ни одной целой семерки, то во второй разряд (второй порядок) помещаем цифру 0. Нетрудно догадаться, что в остатке 4 содержится 4 единицы, поэтому и ставим цифру 4 в первую позицию (порядок единиц). В итоге получаем число 404(7).

Для преобразования числа 968 в систему счисления по основанию 6 используем следующую таблицу:

5 4 3 2 1

6^4   6^3   6^2   6^1   6^0

1296 216 36 6 1

В числе 968 число 1296 (граничное значение пятого порядка) не умещается ни разу, поэтому мы имеем дело с числом четвертого порядка. При делении числа 968 на число 216 (граничное значение четвертого порядка) получается число 4 с остатком, равным 104. В четвертую позицию ставим цифру 4. Делим остаток 104 на число 36 (граничное значение третьего порядка). Получаем в результате деления число 2 и остаток 32. Поэтому третья позиция будет содержать цифру 2. При делении остатка 32 на число 6 (граничное значение второго порядка) получаем 5 и остаток 2. Итак, в ответе имеем число 4252(6), что наглядно показано в следующей таблице:

5 4 3 2 1

6^4   6^3   6^2   6^1   6^0

1296 216 36 6 1

0 4 2 5 2

Для обратного преобразования, т.е. из системы счисления с недесятичным основанием (например, с основанием 6) в десятичную систему, достаточно умножить каждую цифру числа на граничное значение соответствующего порядка, а затем сложить полученные произведения:

4 * 216   864

2 * 36  = 72

5 * 6   = 30

2 * 1   = 2

sum = 968

 Минимальным допустимым основанием является 2. В этом случае используются только две цифры: 0 и 1. Вот как выглядят порядки двоичного числа:

Порядок 8 7 6 5 4 3 2 1

Степень 2^7   2^6   2^5   2^4   2^3   2^2   2^1   2^0

Значение 128 64 32 16 8 4 2 1

Для преобразования числа 88 в двоичное число (с основанием 2) выполните описанную выше процедуру. В числе 88 число 128 не укладывается ни разу, поэтому в восьмой позиции ставим 0.

В числе 88 число 64 укладывается только один раз, поэтому в седьмую позицию ставим 1, а остаток равен 24. В числе 24 число 32 не укладывается ни разу, поэтому шестая позиция содержит 0.

В числе 24 число 16 укладывается один раз, поэтому пятой цифрой двоичного числа будет 1. Остаток при этом равен 8. В остатке 8 число 8 (граничное значение четвертого порядка) укладывается один раз, следовательно, в четвертой позиции ставим 1. Новый остаток равен нулю, поэтому в оставшихся позициях будут стоять нули.

0 1 0 1 1 0 0 0

Чтобы протестировать полученный ответ, выполним обратное преобразование:

1 * 64 = 64

0 * 32 = 0

1 * 16 = 16

1 * 8  = 8

0 * 4  = 0

0 * 2  = 0

0 * 1  = 0

sum = 88

Система счисления с основанием 2 более всего соответствует способу представления информации в компьютере. На самом деле компьютеры "понятия не имеют" ни о каких буквах, цифрах, командах или программах, поскольку представляют собой обычные электронные схемы, для которых важны только такие понятия, как сила тока и напряжение в сети.

Чтобы не усложнять себе жизнь измерениями относительной силы тока в сети (малая, меньше средней, средняя, больше средней и т.д.), разработчики первых компьютерных систем сошлись на том, что проще и надежнее отслеживать только два состояния: есть ток — нет тока. Эти состояния можно выразить словами "да" и "нет", или "истинно" и "ложно", или цифрами 1 и 0. По соглашению 1 означает истинно или "да", но это всего лишь соглашение. С таким же успехом единица могла бы означать ложно или "нет".

Теперь легко понять, почему двоичная система счисления так пришлась по душе разработчикам компьютерных систем. Последовательностями нулей и единиц, соответствующих отсутствию и наличию импульса тока в сети, можно кодировать и передавать любую информацию, подобно тому как точками и тире кодируются буквы в азбуке Морзе.

Если мы приняли решение кодировать данные последовательностями единиц и нулей, то минимальной единицей информации будет двоичный разряд (или бит). На заре компьютерной эры информация передавалась порциями по 8 битов, поэтому минимальной смысловой единицей (словом) в программировании было 8-разрядное число, называемое байтом.

Примечание: Половина байта (4 бита) называется полубайтом (nybble).

С помощью восьми двоичных разрядов можно представить до 256 различных значений. Почему? Рассмотрим разрядные позиции. Если все восемь разрядов установлены (равны 1), то полученное двоичное число будет соответствовать десятичному 255. Если не установлен ни один из разрядов, значение равно 0, т.е. в диапазоне 0- 255 укладываются 256 возможных значений.

Оказывается, что 2^10 (1 024) приблизительно равно 10^3 (1 000). Это совпадение грешно было бы не использовать, поэтому ученые компьютерщики 2^10 байтов начали называть 1 килобайтом (1 Кбайт), используя префикс "кило", который в переводе с латинского означает тысяча.

Аналогично и число 1024 * 1024 (1 048 576) не намного отличается от миллиона, в результате в компьютерной среде широко используется обозначение 1 Мбайт (или 1 мегабайт), а 1 024 мегабайта называют 1 гигабайтом ("гига" означает тысячу миллионов, или миллиард).

В компьютерах используются наборы из единиц и нулей для кодирования любой информации. Программы на машинном языке также кодируются как наборы из единиц и нулей и интерпретируются центральным процессором. Специалист по компьютерным системам мог бы вручную перекодировать последовательность единиц и нулей в строку десятичных чисел, но код от этого не станет понятнее с точки зрения человеческой логики.

Например, микросхема Intel 80.6 интерпретирует битовый набор 1001 0101 как команду. В десятичном представлении это значение соответствует числу 149, что для человека, не сведущего в механизмах работы процессора, также ни о чем не говорит.

Иногда числа представляют собой команды, иногда — значения, а иногда — структурные элементы кода. Одним из стандартизованных наборов кодов является ASCII. В нем каждая буква или знак препинания имеет 7-разрядное двоичное представление. Например, строчная буква "а" представляется двоичным числом 0110 0001. Хотя это значение можно преобразовать в десятичное число 97 (64 + 32 + 1), следует понимать, что это не цифра, а буква. Поэтому иногда говорят, что буква "а" в ASClI представлена числом 97, хотя на самом деле двоичное представление десятичного числа 97 (0110 0001) является кодом буквы "а".

Поскольку двоичная система громоздка и трудна для понимания, для упрощения манипулирования с данными было бы полезно иметь возможность быстро и динамично приводить двоичные значения к числам с большим основанием. Оказалось, что преобразовывать двоичные значения к числам шестнадцатеричной системы счисления намного проще и быстрее, чем к десятичным числам. Почему? Давайте сначала рассмотрим, что представляют собой шестнадцатеричные числа.

Для представления шестнадцатеричных чисел используется 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E и F. Как видите, последние шесть символов — не цифры, а буквы. Буквы A—F выбраны произвольно, просто как первые буквы латинского алфавита. Вот чему равны граничные значения в шестнадцатеричной системе счисления:

4   3   2   1

16^3 16^2 16^1 16^0

4096   256   16   1

При переводе шестнадцатеричного числа в десятичное можно использовать описанную выше схему (вычислить сумму произведений цифр числа на граничные значения соответствующих порядков). Возьмем, например, число F8C:

F * 256 = 15 * 256 = 3840

8 * 16 = 128

С * 1 = 12 * 1 = 12

3840 + 128 + 1 = 3980

Перевод числа FC в двоичное число лучше всего делать путем первоначального перевода в десятичное, а затем уже в двоичное:

F * 16 = 15 * 16 = 240

С * 1 = 12 * 1 = 12

240 + 12 = 252

Преобразование числа 252(10) в двоичное представление показано в следующей таблице:

Разряд    9     8     7    6    5    4   3   2  1

Степень  2^8 2^7 2^6 2^5 2^4 2   2   2  2

Значение 256 128 64   32  16  8   4   2  1

256 не укладывается ни разу.

1 раз 128 остаток 124

1 раз 64 остаток 60

1 раз 32 остаток 28

1 раз   16 остаток 12

1 раз   8  остаток 4

1 раз   4  остаток 0

0 раз  2

0 раз   1

1 1 1 1 1 1 0 0

Таким образом, мы получили двоичное число 1111 1100.

Теперь оказывается, что, представив это число как два набора, состоящих из четырех цифр, мы можем сделать одно магическое превращение.

Правый набор представляет собой число 1100. В десятичном выражении это число 12, а в шестнадцатеричном — число С.

Левый набор имеет вид 1111, который по основанию 10 представляется как число 15, а по основанию 16 — как число F. Итак, мы получили следующее:

1111 0000

F      С

Расположив два шестнадцатеричных числа вместе, псшучаем число FC, которое равно настоящему значению 1111 1100. Этот быстрый метод преобразования работает всегда безотказно. Вы можете взять любое двоичное число любой длины, разбить его на группы по четыре разряда, перевести каждую группу в шестнадцатеричную цифру и расположить эти цифры вместе, чтобы получить шестнадцатеричное число. Вот другой пример:

1011 0001 1101 0111

Напомню, что в двоичной системе используются следующие граничные значения порядков: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384 и 32768.

1 X 1 = 1

1 x 2 = 2

1 X 4 = 4

0 x 8 = 0

1 x 16 = 16

1 x 32 = 0

1 x 64 = 64

1 x 128 = 128

1 x 256 = 256

1 x 512 = 0

1 Х 1024 = 0

1 x 2048 = 0

1 x 4096 = 4096

1 x 8192 = 8192

1 x 16384 = 0

1 x 32768 = 32768

Итого: 45527

Для преобразования этого числа в шестнадцатеричное вспомним граничные значения порядков в этой системе счислений:

65536  4096  256  16  1

Число 65 536 (значение пятого порядка) не укладывается в числе 45 527, в пятой позиции ставим 0. Число 4096 (значение четвертого порядка) укладывается в числе 45 527 одиннадцать раз с остатком 471. В остатке 471 число 256 (значение третьего порядка) укладывается один раз с остатком 215. В новом остатке 215 число 16 (значение второго порядка) укладывается 13 раз с остатком 7. Таким образом, получаем шестнадцатеричное число BlD7.

Проверим наши математические выкладки:

В (11) * 4096 = 45 056

1 * 256   = 256

D (13) * 16 = 208

7 * 1 = 7

Всего 45 527

Для проверки ускоренного метода перевода возьмем двоичное число 1011000111010111, разделим его на группы по четыре знака: 1011 0001 1101 0111. Каждая из четырех групп затем преобразуется в шестнадцатеричное число:

1011 =

1 x 1 = 1

1 x 2 = 2

0 x 4 = 0

1 x 8 = 8

Всего: 11

Шестнадцатеричное: В

0001 =

1 x 1 = 1

0 x 2 = 0

0 X 4 = 0

0 x 8 = 0

Всего: 1

Шестнадцатеричное: 1

1101 =

1 x 1 = 1

0 x 2 = 0

1 x 4 = 4

1 x 8 = 8

Всего: 13

Шестнадцатеричное: D

0111 =

1 X 1 = 1

1 X 2 = 2

1 x 4 = 4

0 x 8 = 0

Всего: 7

Шестнадцатеричное: 7

Итак, получаем шестнадцатеричное число B1D7