ГЛАВА 1

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

В том, что до сего времени было сказано о мире науки, все принималось в ней за чистую монету. Я не говорю, что мы встали на точку зрения доверия к тому, что ученые говорят нам, на том основании, что эта точка зрения является единственно рациональной для людей, не являющихся специалистами в этом вопросе. Говоря, что эта точка зрения является рациональной, я не хочу сказать, что мы должны быть абсолютно уверены в истинности того, что нам говорят, так как общепризнанно, что, по всей видимости, все, что говорится, будет со временем нуждаться в исправлениях. Я хочу сказать, что наилучшее научное мнение современности имеет больше шансов оказаться истинным или приблизительно истинным, чем любая из разных гипотез, высказываемых неспециалистами. Положение здесь аналогично стрельбе в цель. Если вы плохой стрелок, то вы, по всей видимости, не попадете в центр мишени; тем не менее больше шансов, что вы попадете в центр мишени, чем в какое-либо другое место. Так и гипотеза ученого, которая может и не быть вполне истинной, все же имеет больше шансов оказаться таковой, чем любое предположение, высказанное человеком, стоящим вне науки. Однако в этой главе не этот вопрос является предметом нашего рассмотрения.

Предметом, который мы сейчас собираемся исследовать, является не истина, а интерпретация. Часто случается, что мы имеем как будто достаточное основание верить в истинность какой-либо формулы, выраженной в математических символах, хотя и не можем дать ясного определения этик символов. В других случаях бывает также, что мы можем придать несколько различных значений символам, каждое из которых делает формулу истинной. В первом случае у нас нет даже и одной определенной интерпретации нашей формулы, тогда как во втором случае мы имеем много интерпретаций. Такая ситуация, могущая показаться странной, возникает в чистой математике и в математической физике; она возникает даже при интерпретации такого утверждения обыденного здравого смысла, как: «В моей комнате есть три стола и четыре стула». Таким образом, окажется, что существует большой класс утверждений, в отношении каждого из которых мы больше уверены в его истинности, чем в его значении. «Интерпретация» касается именно таких утверждений; оно состоит в нахождении возможно более точного значения для утверждения этого вида или иногда в нахождении целой системы возможных значений.

Возьмем сначала пример из чистой математики. Люди давно были убеждены в том, что 2х2=4; они так твердо были убеждены в этом, что это выражение служило ходячим примером чего-либо бесспорного. Но когда людей спрашивали, что они имеют в виду под знаками «2», «4», «+» и «=», они давали неопределенные и различные ответы, которые показывали, что они не знают, что значат эти символы. Некоторые полагали, что мы знаем каждое число благодаря интуиции и, следовательно, не имеем нужды в их определении. Это могло бы казаться вполне приемлемым там, где речь идет о малых числах, ко кто может иметь интуицию числа 3 478 921? Итак, они говорили, что мы имеем интуицию «1» и «+»; далее мы можем определить «2» как сумму «1+1», «3» как сумму «2+1», «4» как «3+1» и так далее Но это не давало вполне хороших результатов. Это давало возможность сказать, что 2+2=(1+1)+(1+1) и что «4»=(1+1)+1+1, вслед за чем нам нужна была новая интуиция для расстановки скобок и для убеждения, что, если /, m, n — три числа, то (/+m)+ +n=/+(m+n). Некоторые философы могли производить эту интуицию по требованию, но большинство людей относилось к их заявлениям до некоторой степени скептически и чувствовало, что здесь применялся какой-то другой метод.

Новый шаг вперед, более удобный для нашей проблемы интерпретации, был сделан Пеано. Пеано начал с трех не имевших определения терминов — «О», «конечное целое (или число)» и «следующее за» — и в отношении этих терминов дал пять положений, именно:

1. О есть число.

2. Если а есть число, то и следующее за а (то есть о+1) есть число.

3. Если два числа имеют одно и то же следующее за ними, то эти два числа тождественны.

4. О не является следующим за каким-либо числом.

5. Если s есть класс, к которому принадлежит 0 и также следующее за всяким числом, принадлежащим к s, то каждое число принадлежит к s.

Последнее из этих положении является принципом математической индукции.

Пеано показал, что с помощью этих пяти положений он может доказать любую формулу в арифметике.

Но вслед за этим возникло новое затруднение. Было признано, что, пока мы имеем в виду нечто удовлетворяющее этим пяти положениям, нам не нужно знать, что мы имеем в виду под «0», «числом» и «следующим». Но тогда оказалось, что существует бесконечное число возможных интерпретаций. Например, пусть «О» значит то, что мы обычно называем «1», и пусть «число» значит то, что мы обычно называем «числом, не являющимся О», тогда все пять положений оказываются все ещё истинными и вся арифметика может быть доказана, хотя каждая формула будет иметь неожиданное значение. «2» будет обозначать то, что мы обычно называем «З», но выражение «2+2» не будет значить «З+З»; оно будет значить «3+2», а «2+2=4» будет значить то, что мы обычно выражаем знаками «3+2=5». Подобным же образом мы могли бы истолковать арифметику при допущении, что «О» значит «100» и что «число» значит «число большее, чем 99». И так далее.

Пока мы остаемся в области арифметических формул, все эти различные интерпретации «числа» равно хороши. И только тогда, когда мы начинаем эмпирическое употребление чисел в перечислении, мы находим основание для предпочтения одной интерпретации всем другим. Когда мы покупаем что-нибудь в магазине и продавец говорит: «Три шиллинга», его «три» не является только математическим символом, обозначающим «третий термин от начала какой-либо последовательности»; его «три» не может быть определено его арифметическими свойствами. Ясно, что вне арифметики его интерпретация «трех» является предпочтительным перед всеми другими, которые допускаются как возможные системой Пеано. Такие утверждения, как: «люди имеют 10 пальцев», «собаки имеют 4 ноги», «Нью-Йорк имеет 10000000 жителей», требуют такого определения чисел, которое не может быть получено на основе только того, что эти числа удовлетворяют формулам арифметики. Такое определение является, следовательно, наиболее удовлетворительной «интерпретацией» числовых символов.

Такая ситуация возникает всякий раз, когда математика применяется к эмпирическому материалу. Возьмем, например, геометрию, но не как логическое упражнение в выведении следствий из произвольно принятых аксиом, а как науку, помогающую в землемерном деле, в составлении карт, в инженерном деле или в астрономии. Такое практическое использование геометрии связано с затруднением, которое хотя в какой-то степени иногда и признается, но никогда всерьез не принимается. Геометрия, излагаемая математиками, пользуется точками, линиями, плоскостями и окружностями, но было бы банальностью говорить, что никаких таких объектов нет в природе. Когда в землемерном деле употребляется процесс триангуляции, то признается, что наши треугольники не имеют строго прямых линий для своих сторон, как не имеют и точных точек для своих углов, но при интерпретации говорят, что стороны приблизительно являются прямыми линиями, а углы — приблизительно точками. Значение этого приближения не совсем ясно, пока считается, что не существует вполне точных прямых линий или точек, к которым наши кое-как намеченные линии и точки могли бы приближаться. Мы можем считать, что чувственные линии и точки имеют приблизительно свойства, установленные в определениях и аксиомах Евклида, но если мы не можем установить в каких-то границах, каково это приближение, то такая точка зрения делает вычисление неопределенным и неудовлетворительным.

Эта проблема точности математики и неточности чувств является весьма древней проблемой, которую Платон пытался разрешить с помощью фантастической гипотезы воспоминания. В новое время эта проблема, как и некоторые другие неразрешенные проблемы, была забыта благодаря тому, что с ней сжились, как иногда не замечают дурной запах потому, что в течение долгого времени привыкают к нему. Ясно, что если геометрия должна применяться к чувственно воспринимаемому миру, то мы должны найти определения точек, линий, плоскостей и так далее в терминах чувственных данных или же мы должны быть в состоянии вывести из чувственных данных существование невоспринимаемых сущностей, имеющих такие свойства, в которых нуждается геометрия. Нахождение путей или пути к выполнению того или другого является проблемой эмпирической интерпретации геометрии.

Существует и неэмпирическая интерпретация, которая оставляет геометрию в сфере чистой математики. Совокупность всех упорядоченных триад реальных чисел образует трехмерное евклидово пространство. При такой интерпретации вся евклидова геометрия дедуцируется из арифметики. Даже неевклидова геометрия допускает подобную арифметическую интерпретацию. Можно показать, что как евклидова геометрия, так и любая форма неевклидовой геометрии могут применяться ко всякому классу, имеющему одно и то же количество терминов в качестве реальных чисел; вопрос о количестве измерений и о том, будет ли получающаяся в результате геометрия евклидовой или неевклидовой, будет зависеть от того упорядочивающего отношения, которое мы выберем; существует (в логическом смысле) бесконечное количество упорядочивающих отношений, и только соображения эмпирического удобства могут привести нас к выбору одного из них как заслуживающего особого внимания. Все это имеет значение при обсуждении вопроса о том, какая интерпретация чистой геометрии лучше для инженера или физика. Это показывает также, что в эмпирической интерпретации само упорядочивающее отношение, а не только упорядочиваемые термины, должно быть определено с помощью эмпирических терминов.

Очень сходные соображения применимы и ко времени, которое, однако, поскольку дело касается этого нашего вопроса, является не столь трудной проблемой, как пространство. В математической физике время трактуется как состоящее из моментов, хотя озадаченного этим обстоятельством студента уверяют, что моменты суть математические фикции. Никаких попыток не предпринимается, чтобы показать ему, чем полезны фикции или как они относятся к тому, что не является фикцией. Он обнаруживает, что с помощью этой фантастики можно исчислять то, что происходит на самом деле, и спустя некоторое время он, вероятно, перестает беспокоиться по поводу того, почему это так получается.

Моменты не всегда рассматривались как фикция; Ньютон считал их столь же «реальными», как реальны Солнце и Луна. Когда этот взгляд был отвергнут, оказалось легко перейти к противоположной крайности и забыть, что полезная фикция является, по-видимому, не только простой фикцией. Существуют различные степени фиктивности. Попробуем на один момент рассматривать индивидуального человека как нечто отнюдь не фиктивное; что тогда скажем мы о различных совокупностях людей, к которым он принадлежит? Большинство будет испытывать колебания в признании семьи фиктивной единицей, но как обстоит дело с политической партией или с клубом игроков в крикет? Как обстоит дело с совокупностью людей, которую мы называем словом «Смит» и к которой, как мы предполагаем, принадлежит наш индивидуум? Если вы верите в астрологию, вы будете придавать определенное значение совокупности людей, рожденных под определенной планетой; если же вы не верите в нее, вы будете считать такую совокупность людей фиктивной. Эти различения не являются логическими; с логической точки зрения все совокупности индивидуумов одинаково реальны или одинаково фиктивны. Значение этих различий практическое, а не логическое: имеются некоторые совокупности, о которых можно сказать много полезного, тогда как о других совокупностях этого сказать нельзя.

Когда мы говорим, что моменты суть полезные фикции, мы имеем в виду, что существуют такие сущности, которым как индивидуальным людям мы склонны приписывать высокую степень «реальности» (что бы это ни значило), и что в сравнении с ними моменты имеют ту меньшую степень «реальности», какую имеет клуб игроков в крикет по отношению к его членам; но мы хотим также сказать, что о моментах, как и о семьях, в противоположность «искусственным» совокупностям людей можно сказать много практически важного.

Все это очень неопределенно, и проблема интерпретации есть проблема подстановки чего-либо определенного, причем мы всегда должны помнить, что как бы мы ни определяли «моменты», они должны иметь свойства, требуемые в математической физике. Когда имеется две интерпретации, которые обе удовлетворяют этому требованию, выбор одной из них есть дело вкуса и удобства; не бывает так, чтобы одна интерпретация была «правильной», а другая «неправильной».

В классической физике технический аппарат состоит из точек, моментов и частиц. Признается, что имеется отношение из трех членов, то есть отношение, когда некая точка занимается в некий момент, и то, что занимает точку в некий момент, называется «частицей». Технически признается также, что частицы неразрушимы, так что все то, что занимает точку в данный момент, занимает какую-то точку в каждый другой момент. Когда я говорю, что это признается, я имею в виду не то, что это утверждается как факт, а что техника основывается на предположении, что никакого вреда не произойдет, если мы будем трактовать это как факт. Из этого все ещё исходят в макроскопической физике, но в микроскопической физике «частицы» постепенно исчезали. «Материя» в старом её понимании больше не нужна; нужна «энергия», которая не определяется, за исключением тех случаев, когда дело идет о её законах и об отношении изменений в её распределении к нашим ощущениям, особенно когда дело идет об отношении частот к цветовым восприятиям.

Вообще говоря, мы можем сказать, что основной технический аппарат современной физики есть четырехмерное многообразие «событий», упорядоченных пространственно-временными отношениями, которые могут быть разложены на пространственные и временные компоненты многими способами, выбор между которыми произволен. Поскольку математический анализ ещё используется, то технически признается, что пространство-время является непрерывным, но не ясно, насколько это допущение является чем-то большим, чем математически удобным построением. Не ясно также, имеют ли «события» то определенное положение в пространстве-времени, которое используется для того, чтобы характеризовать частицу в какой-либо момент. Все это делает вопрос об интерпретации современной физики очень трудным, но при отсутствии какой-либо интерпретации мы не можем сказать, что он утверждается квантовой физикой.

Понятие «интерпретации» в его логическом аспекте несколько отличается от того довольно неопределенного и трудного понятия, которое мы рассматривали в начале этой главы. Там мы имели дело с символическими утверждениями, о которых известно, что они имеют связь с наблюдаемыми явлениями и ведут к результатам, подтверждаемым наблюдением, но которые несколько неопределенны по значению, кроме тех случаев, когда их связь с наблюдением определяет их. В этом случае мы можем сказать, как мы говорили в начале этой главы, что мы вполне уверены в истинности наших формул, но совсем не уверены в их значении. В логике же мы идем совершенно другим путем. Наши формулы не рассматриваются как «истинные» или как «ложные», но как гипотезы, содержащие переменные величины. Совокупность тех значений переменных, которые делают гипотезу истинной, есть «интерпретация». Слово «точка» в геометрии может быть интерпретировано как обозначающее «упорядоченную триаду реальных чисел» или, как мы увидим, как обозначающее то, что мы назовем «полным комплексом сосуществования»; оно может также быть интерпретировано и с помощью бесконечного количества других способов. Общим для всех этих способов является то, что удовлетворяет аксиомам геометрии.

Как в чистой, так и в прикладной математике мы часто имеем собрания формул, которые все логически выводятся из небольшого числа начальных формул, которые могут быть названы «аксиомами». Эти аксиомы могут рассматриваться как залоги для всей системы, и мы можем концентрировать каше внимание исключительно на них. Аксиомы состоят частично из терминов, имеющих известное определение, частично из терминов, которые в любой интерпретации останутся переменными, и частично из терминов, которые, будучи пока ещё неопределенными, потребуют определений, когда аксиомы будут «интерпретированы». Процесс интерпретации состоит в нахождении постоянного значения для этого класса терминов. Это значение может быть придано им или с помощью вербального определения или же с помощью наглядного определения. Оно должно быть таким, чтобы при этой интерпретации аксиомы были истинными. (До интерпретации они ни истинны, ни ложны.) Таким образом, оказывается, что все их следствия также истинны.

Предположим, например, что мы хотим интерпретировать формулы арифметики. В пяти аксиомах Пеано (приведенных выше) имеются: во-первых, логические термины, такие, как «есть» и «тождественно с», значение которых предполагается известным; во-вторых, переменные, такие, как а и s» которые должны остаться переменными после интерпретации; в-третьих, термины «О», «число» и «следующее за»» для которых интерпретация должна найти такое постоянное значение, которое сделало бы эти пять аксиом истинными. Как мы видели, существует бесконечное количество интерпретаций, удовлетворяющих этим условиям, но среди них есть только одно, которое удовлетворяет также и эмпирическим утверждениям перечисления, таким, как: «У меня 10 пальцев». В этом случае, следовательно, существует одна интерпретация, которая является гораздо более удобной, чем любая из остальных.

Как мы видели в отношении геометрии, имеющийся набор аксиом допускает два способа интерпретации — один логический и один эмпирический. Все номинальные определения, если их проследить достаточно далеко, должны привести в конце концов к терминам, имеющим только наглядные определения, и в случае эмпирической науки эмпирические термины должны зависеть от терминов, наглядные определения которых даются в восприятии. Солнце астронома, например, сильно отличается от того, что видим мы, но оно должно иметь определение, полученное из наглядного определения слова «солнце», которое мы познали ещё в детстве. Таким образом, эмпирическая интерпретация набора аксиом, когда она является полной, должна всегда включать в себя термины, имеющие наглядное определение, полученное из чувственного опыта. Оно не будет, конечно, содержать только такие термины, так как в нем всегда будут также и логические термины; но эмпирическим интерпретация делает только наличие в нем терминов, полученных из опыта.

К вопросу об интерпретации незаслуженно относились с пренебрежением. Пока мы остаемся в области математических формул, все кажется определенным, но когда мы стараемся интерпретировать их, оказывается, что эта определенность в какой-то степени иллюзорна. Пока этот вопрос не выяснен, мы не можем сказать с какой-либо точностью, что, собствен но, утверждает та или иная конкретная наука.