Глава шестая

Симметрия

Вычисление количества красоты

Хрисипп утверждает, что красота не в элементах, а в симметрии частей.[22]

(Гален)

Может ли быть так, что красота есть ключ к пониманию этого прекрасного мира? Греческий скульптор Поликлит из Аргоса, расцвет деятельности которого пришелся на 450-420 гг. до н.э., заложил основы нашего современного понимания фундаментальных частиц, когда в своем Каноне, введении в эстетику, писал, что «красота приходит мало-помалу посредством многих чисел». Поликлит писал о симметрии, динамическом равновесии расслабленных и напряженных частей человеческого тела и относительной ориентации этих частей, организующихся в гармоническое целое. Через две с половиной тысячи лет мы возвращаемся к математическим аспектам симметрии — и к симметрическим аспектам математики, — чтобы выстроить свое понимание фундаментальных сущностей, из которых высечено вещество, и динамического равновесия сил, которые удерживают эти сущности вместе. 

Если под красотой мы имеем в виду симметрию и контролируемые нарушения симметрии, Мондриана, переходящего в Моне, то красота, конечно, лежит в сердце мира. Часть этой красоты открыта для непосредственного восприятия, например, когда мы смотрим на прекрасное произведение искусства. Другая часть, однако, глубоко спрятана и неочевидна для необученного взгляда. Тысячи лет, прошедшие со времени Поликлита, были использованы для того, чтобы выкопать скрытую красоту, дать ее оценку в математической форме, и затем, используя математические средства, провести более глубокие раскопки ландшафта реальности. Как я уже подчеркивал, по мере развития науки, ее глубина и богатство возрастают за счет увеличения абстрактности ее концепций. Это возрастание нигде не прослеживается лучше, чем в открытии симметрии и в развернутом ее использовании в качестве инструмента познания.

Теперь я проведу вас, настолько подробно, насколько мне удастся, по пути, ведущем от непосредственно воспринимаемого к воображаемому, и продемонстрирую ту власть, которую дает в наши руки симметрия. Этот путь поведет нас на самый край обрыва того, что еще доступно воображению.

Объект является симметричным, если действие — которое мы называем преобразованием симметрии, — произведенное над ним, оставляет его неизменным по внешнему виду. Другими словами, если вы на мгновение закроете ваши глаза, то когда вы откроете их снова, вы не сможете сказать, совершил я какое-либо действие или нет. Представьте себе гладкий мяч без украшений; закройте на мгновение глаза, откройте их: повернул ли я шар? Действия, которые мы рассматриваем, могут быть вращением вокруг оси или отражением в зеркале, но существуют и другие преобразования симметрии, которые нам еще предстоит оценить, некоторые из которых представляют собой составные комбинации более простых действий, например, движение в пространстве (называемое трансляцией), за которым следует отражение в зеркале. Вы можете найти отражение даже в музыке. Одним особенно прозрачным примером является поддельное двухчастное сочинение «Моцарта», которое начинается так

и завершается второй частью

являющейся отражением первой части.

Некоторые объекты являются более симметричными, чем другие. Сфера в высокой степени симметрична — это один из самых симметричных объектов, с которыми мы обычно сталкиваемся. Подумайте о числе способов, которыми я могу изменить положение сферы, пока ваши глаза закрыты, так, что вы не сможете обнаружить это, открыв глаза. Я могу повернуть ее вокруг любой из бесконечного числа осей, проходящих через ее центр, на любой угол, лежащий между 0 и 360°. И это еще не все. Я могу представить себе зеркало, проходящее через центр сферы в любом из бесконечного числа направлений, и вы не сможете обнаружить отражение одной полусферы в другую. Есть и другие действия, которые я могу произвести в уме: я могу вообразить, что я беру каждый атом шара на прямой линии, проходящей через центр сферы, и перемещаю этот атом на равное расстояние от центра сферы с другой стороны. Таким путем я перестраиваю шар с помощью операции, известной как инверсия. Вы не сможете утверждать, что я проделал это, поскольку шар после такой инверсии выглядит точно таким же, каким был вначале.

Куб гораздо менее симметричен, чем сфера. Существует несколько действий, которые я могу над ним произвести так, чтобы вы об этом не узнали. Я могу повернуть куб на 90° и 180° по часовой стрелке и против нее вокруг оси, проходящей через центры любой из трех пар противоположных граней. Я могу повернуть его на 120° по часовой стрелке и против нее вокруг любой из четырех осей, проходящих через противоположные углы. Я могу отразить его от любой из трех плоскостей, в которой я могу поместить зеркало, разрезающее куб пополам. Я могу перестроить куб с помощью инверсии относительно его центра. Я бы мог даже оставить куб нетронутым: вы бы не узнали. Поэтому ничегонеделание — называемое тождественным преобразованием — тоже является преобразованием, которое я должен включить в рассмотрение симметрии объекта. Это дает много различных действий, которые я могу проделать так, чтобы вы не узнали; поэтому куб является высоко симметричным, но совсем не таким симметричным, как сфера, с ее бесконечным числом незразличимых преобразований.

Рис. 6.1. Некоторые из преобразований симметрии для куба. Куб выглядит неизмененным, когда мы вращаем его на 90° или 180° вокруг осей, перпендикулярных каждой грани, и на 120° или 240° вокруг осей, проходящих через противоположные углы. Он также выглядит неизмененным при отражении относительно любой из изображенных здесь плоскостей. Есть еще два преобразования симметрии: инверсия относительно центра куба и тождественное преобразование (ничегонеделание).

С определенной формальной точки зрения симметрично все. Это так, потому что в число рассматриваемых преобразований симметрии мы включили тождественное преобразование; ведь даже самые несимметричные объекты — смятый газетный лист, например, — как мы можем проверить, выглядят также, если мы откроем глаза после того, как с ними ничего не было сделано. В данный момент это может показаться жульничеством, что, конечно, так и есть. Однако включение тождественного преобразования вводит все объекты в сферу действия математической теории симметрии, так что мы можем пользоваться соображениями симметрии при обсуждении чего угодно, а не только объектов, о которых мы думаем, как о «симметричных». Математика вообще действует таким образом: она обобщает определения, чтобы ее теоремы могли охватить настолько большую область, насколько это возможно. Конечно, хотя все и симметрично (в этом формальном смысле), некоторые вещи более симметричны, чем другие. «Более симметричные» просто означает, что существует больше способов их изменения, таких, что, когда мы откроем глаза, мы не сможем сказать, было произведено действие или нет. Сфера более симметрична, чем куб, а куб более симметричен, чем пальма. Как можно видеть, теперь мы способны упорядочить объекты в соответствии со степенью их симметрии: аромат симметрии обретает число.

Математическая теория симметрии, в которой этот аромат отвердевает в точных определениях, называется теорией групп. Название этой теории возникло из того факта, что преобразования симметрии, о которых мы говорили, образуют множества операций, которые в математике называются группами. Вообще говоря, группа состоит из множества элементов и правила их комбинирования, такого, что комбинация любой пары элементов тоже является элементом этого множества. Мы можем увидеть, как преобразования симметрии формируют группу, снова представив себе куб. Предположим, я последовательно провожу два действия, поворачивая куб на 90° вокруг одной из осей, перпендикулярных грани, а затем вращая получившийся куб на 120° вокруг диагональной оси. Результат оказывается таким же, каким бы он был, если бы я повернул куб на 120° вокруг одной из других диагональных осей, поэтому эти два последовательно выполненных преобразования эквивалентны одному преобразованию симметрии. Это верно для всех преобразований симметрии куба, поэтому эти преобразования образуют группу. Группам преобразований симметрии для различных фигур даны названия. Например, огромная группа симметрии сферы называется SO(3). Позже мы встретим другие группы с названиями типа SU(2) и SU(3).

Понятие группы выходит далеко за пределы преобразований симметрии, вот почему теория групп является существенной частью математики. Например, возьмем в качестве множества «элементов» положительные и отрицательные числа …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … и пусть правилом комбинирования будет сложение. Тогда, поскольку сумма двух целых чисел сама является целым числом, целые числа образуют группу по сложению. Поэтому арифметика есть часть теории групп, и та же идея, которую мы используем, чтобы обсуждать симметрию реальных объектов, может быть использована для обсуждения идей арифметики, и наоборот. Я не собираюсь вести вас в настоящей главе по этому частному маршруту, но он сыграет свою роль в главе 10. Тем не менее просто вынесите отсюда мысль — мысль, которая пронизывает всю эту книгу, — что простая идея может иметь приложения почти неограниченной общности.

Давайте вернемся к рассмотрению собственно симметрии. Нам необходимо отличать группы преобразований симметрии, которые оставляют одну точку объекта неизмененной, от групп, включающих в себя движение через пространство. Первые называются точечными группами, последние — пространственными группами. Все преобразования симметрии сферы и куба оставляют точку в центре в том же положении, в котором она находилась изначально. Если действие сдвигает центральную точку индивидуального объекта, как в случае отражения сферы в плоскости, не проходящей через ее центр, то мы можем заметить, что нечто было проделано, и это действие нельзя считать преобразованием симметрии. Все преобразования симметрии индивидуальных объектов оставляют неизмененной по крайней мере одну точку, так что симметрии индивидуальных объектов описываются точечными группами.

Узоры, тянущиеся через пространство, описываются пространственными группами. Здесь нам придется прибегнуть к небольшому надувательству и представить себе узоры, бесконечно тянущиеся в любом направлении, или представить себе, что мы настолько близоруки, что не можем увидеть происходящее на краях узора. Узоры, действительно тянущиеся бесконечно в одном измерении, называются фризовыми узорами, поскольку они проявляют свойства симметрии, типичные для фризов. Формальное определение фриза в классической архитектуре таково: это горизонтальная полоса, образующая центральную часть антаблемента, часть структуры, поддерживаемая колоннами и лежащая между архитравом и карнизом. Менее формально, фриз это любая горизонтальная декоративная полоса с мотивом, регулярно повторяющимся по всей ее длине. Тут спящий гигант теории групп открывает один глаз и выдает нам первый из своих замечательных инсайтов: существует только пять возможных вариантов фриза. Все фризы, которые когда-либо были созданы и которые когда-либо могут быть созданы, можно классифицировать как один из пяти различных вариантов (рис. 6.2). Конечно, мотивы могут быть разными — стрелки из лука, ромбы, козлики, завиточки, — но если рисунок периодически повторяется (что исключает фризоподобные виды элгинского мрамора, где узор не повторяется), его организация в пространстве ограничена этими пятью вариантами.

Рис. 6.2. Эти формы символизируют пять узоров фриза, допустимых в одномерном случае. Существуют различные мотивы, поскольку квадрант, показанный здесь в различных ориентациях, может быть заменен любым рисунком, но эти пять узоров исчерпывают все возможные регулярные фризы.

Это лишь первый проблеск тех головокружительных глубин, в которые может проникать теория групп. Упоминание о колоссальном интеллектуальном прыжке (к которому я намерен подвести вас более маленькими шагами по мере разворачивания этой главы, но сейчас будет полезно узнать, куда мы направляемся), может быть, даст нам возможность согласиться с тем, что, так же как симметрия ограничивает число возможных структур в пространстве, может оказаться, что симметрия пространства-времени — что бы это ни означало — ограничивает число типов элементарных частиц, которым позволено существовать. Симметрия ставит пределы.

Пока архитектура проходила путь от греческого храма до бунгало, она пришла в упадок настолько, что, упразднив требование антаблемента и фриза, открыла дорогу обоям. Узоры на обоях тянутся бесконечно в двух измерениях, и вариации этих узоров — ленточки, розочки, павлины — и их цвета заполняют рекламные буклеты декораторов интерьера и производителей обоев. Однако теория групп открывает ужасную правду: существует только семнадцать вариантов обойных узоров.

Мы можем выразиться несколько более точно. Под словом сеть мы будем понимать совокупность точек, которые представляют места расположения павлинов или чего-то еще, чему вкус предписывает быть мотивом узора. Узор обоев является комбинацией мотива и сети. Так, все павлины в чередующихся точках сети могут сидеть вертикально, или в этих точках могут чередоваться павлины, сидящие прямо и павлины опасным образом опрокинутые. Учитывая эту разницу, теория групп показывает, что существует только пять типов сети и семнадцать комбинаций сети и мотива (рис. 6.3). Будет интересным упражнением исследовать обои в комнатах, которые вы посещаете, узор брусчатки дворов, которые вы пересекаете, черепицу на крышах или даже узор (если он периодичен) вашего галстука, чтобы определить вашу способность идентифицировать сеть (это обычно легко) и общий узор (что более головоломно, так как некоторые мотивы являются весьма изощренными). Вы никогда не обнаружите периодический узор, который не был бы одним из набора семнадцати узоров, определенного в теории групп как полная Вселенная дизайна обоев.

Рис. 6.3. Эти узоры показывают пять видов сетей, возможных для двумерных обоев. Для получения реального рисунка к каждой точке можно прикрепить образ, но даже тогда оказывается, что существует всего семнадцать возможных схем.

Рассмотрим теперь трехмерную упаковку узоров, заполняющую все пространство. В повседневном опыте встречается простейший из всех узоров, в котором кубические кусочки сахара упакованы вместе в коробку, или — с несколько более низким уровнем симметрии, поскольку сложенные предметы теперь не являются кубами — сложены вместе спичечные коробки (рис. 6.4). Здесь мы можем заметить, что, в зависимости от деталей, которые мы рассматриваем, мы можем приписать объекту различные типы симметрии. Один тип симметрии мы припишем стопке безличных спичечных коробков, но если мы примем во внимание оформление коробков и, возможно, ориентацию спичек в них, то это заставит нас приписать упаковке несколько более низкий уровень симметрии.

Рис. 6.4. Два из возможных способов укладки в трехмерном пространстве. Верхняя диаграмма показывает сложенные вместе кубические элементарные ячейки («кусочки сахара»). Нижняя диаграмма показывает элементарные ячейки («спичечные коробки»). Всего существует семь форм элементарных ячеек, которые можно уложить таким образом, чтобы получить периодическую структуру. Сами по себе элементы могут содержать объекты, влияющие на общую симметрию: мы показали внутренности двух коробков, показывающие, что чередующиеся коробки содержат спички, указывающие в разные стороны.

Сколько трехмерных узоров существует? Мы можем обнаружить различные симметрии, задавая различные вопросы. В раннем примере техники трансдукции, упомянутой в связи с с атомной гипотезой Дальтона, французский минеролог и священник Рене-Жюст Гаюи (1743-1822) предположил в 1784 г. в своем Essai d'une théorie sur la structure des chistaux, что внешняя форма кристаллов отражает устройство их мельчайших единиц. Он пришел к этой точке зрения, когда уронил особенно красивый кристалл кальцита (прозрачная кристаллическая форма карбоната кальция, мела) и обнаружил, что он распался на маленькие кусочки, по форме повторяющие оригинал. Редкий случай, когда разрушение привело к столь хорошему результату. Мы теперь называем маленькие блоки, которые, будучи сложены вместе без использования вращений, заполняют все пространство, элементарными ячейками. Элементарные ячейки могут быть кубическими (как кусочки сахара), прямоугольными, с одной стороной отличной от двух других, прямоугольными, с тремя различными сторонами (как спичечные коробки), или скошенными так, что, хотя противоположные грани и параллельны (они должны быть такими для того, чтобы элементарные ячейки могли заполнить все пространство), они не перпендикулярны к соседним граням. Оказывается, что существует только семь базовых форм этих элементарных ячеек.

Так же как мы идентифицировали пять сетей для обоев, отмечая положение точек, в которых потом можно расположить мотивы, мы проделаем это и для элементарных ячеек. Результирующие расположения точек, допустимые в трех измерениях, называются решетками Браве, в честь французского альпиниста, искателя приключений и физика Огюста Браве (1811-63), который первым составил их перечень в 1850 г. Оказалось, что их существует всего четырнадцать (рис. 6.5). Где бы вы ни увидели объекты, сложенные вместе для заполнения пространства регулярным образом, такие как консервные банки в ящиках, слои яиц в корзинках и фрукты в витринах, они все соответствуют одному из этих четырнадцати расположений.

Рис. 6.5. Трехмерными аналогами сетей для обоев являются решетки Браве. В трех измерениях существует четырнадцать решеток Браве. Можно прикреплять к каждой точке объекты различными способами, но таких способов существует не более 230.

Так же как мы можем получить семнадцать основных видов обоев, помещая различными способами в сеть точек мотив (вертикальные павлины, чередующиеся павлины и так далее), мы можем прикрепить мотив (такой, как рисунок на крышке спичечного коробка или способ, которым в нем уложены спички) к каждой точке решетки Браве. Тщательное рассмотрение возникающих здесь узоров показывает, что существует всего 230 возможных способов их организаций. Я осознаю, что слово «всего» здесь кажется не очень уместным; но дело в том, что это число конечно и определено точно: это число не равно 228 или 229; оно в точности равно 230. Эти способы организации называются пространственными группами. Все возможные трехмерные, заполняющие пространство периодические структуры соответствуют этим 230 пространственным группам. Упаковка одинаковых, недекорированных спичечных коробков со спичками, указывающими в одном направлении, соответствует одной пространственной группе, а упаковка тех же спичечных коробков тем же способом, но со спичками в соседних коробках, указывающими попеременно в разных направлениях, соответствует другой пространственной группе.

Бакалейщик, выкладывающий на витрине апельсины, бессознательно моделирует способы, которыми природа складывает вместе атомы, чтобы получить кристаллы, и именно здесь симметрия и вдыхающие в нее жизнь пространственные группы становятся важным орудием исследования и классификации. Во-первых, мы можем увидеть в витрине бакалейщика, что из однородно уложенных сфер может возникнуть поверхность, близкая к плоской. Плоская поверхность отдельного кристалла металлического элемента, например цинка или меди, представляет собой одну из поверхностей такого рода. Здесь не место входить в детали того, как именно атомы и молекулы пакуются вместе, чтобы дать в результате один из 230 возможных способов организации, допускаемых симметрией, но небольшой привкус этого все же получить можно.

Если мы будем представлять себе атомы в виде твердых сфер, подобных шарообразным опорам, мы сможем вообразить слой этих атомов, лежащих близко друг к другу, в котором каждая сфера окружена шестью соседями (максимально возможным числом для одинаковых сфер). Новый слой можно образовать, кладя атом в каждое из углублений первого слоя (рис. 6.6). Третий слой можно сформировать любым из следующих двух способов. В первом мы кладем атомы в углубления, лежащие над положениями атомов в первом слое; во втором мы кладем их в углубления, которые лежат над местами соприкосновения атомов первого слоя. Если мы обозначим слои буквами A, B, C…, то первое расположение будет выглядеть как ABABAB, а второе как ABCABC…. Если вы внимательно рассмотрите первую конфигурацию сфер, вы сможете обнаружить гексагональную систему, гексагональную элементарную ячейку. Во второй конфигурации вы сможете обнаружить кубическую систему (ее немного труднее обнаружить, поскольку кубы отклоняются от плоскостей). Эти два вида упаковки атомов дают кристаллы с разными симметриями. Среди металлов, образующих гексагональные элементарные ячейки, содержатся кобальт, магний и цинк. Металлы, образующие кубические элементарные ячейки, включают серебро, медь и железо.

Рис. 6.6. Две регулярные структуры, которые можно построить, укладывая вместе твердые сферы (представляющие атомы) насколько возможно плотно. На нижнем уровне (светло-серый) каждая сфера находится в контакте с шестью соседями. Обозначим этот уровень буквой A. На среднем уровне (серый) сферы лежат в углублениях первого уровня. Обозначим этот уровень буквой B. Если сферы следующего слоя (темно-серый) лежат в углублениях второго слоя, которые находятся прямо над сферами первого слоя, образуя структуру ABA, то мы получаем гексагональную систему (в верхней части). Если сферы лежат в углублениях, которые не находятся непосредственно над сферами слоя A, то мы получаем конфигурацию ABC, имеющую кубическую симметрию.

Симметрия элементарных ячеек влияет на механические, оптические и электрические свойства твердых тел. Например, жесткость металла зависит от наличия в нем плоскостей скольжения, которые представляют собой плоскости атомов, которые под действием напряжения, скажем, удара молотком, могут проскальзывать друг относительно друга. Если изучить внимательно слои атомов на рис. 6.6 или элементарные ячейки, то выяснится, что гексагональная структура имеет только одно семейство плоскостей скольжения (они лежат параллельно плоскостям, показанным на иллюстрации), в то время как кубическая структура имеет восемь семейств различно ориентированных плоскостей скольжения. В результате металлы с гексагональной структурой (например, цинк) являются хрупкими, а металлы с кубической структурой (например, медь и железо) являются пластичными — их можно относительно легко сгибать, прокатывать, протягивать и ковать из них различные формы. Электроиндустрия зависит от тягучести меди, а транспортная и строительная индустрии зависят от пластичности железа.

Как мы видели в других контекстах, бывает всегда забавно, а иногда и полезно, расширять наше воображение до более высоких размерностей. Это расширение иногда существенно важно, как в случае, когда мы рассматриваем четыре измерения пространства-времени. Тогда возникает вопрос, сколько узоров может быть обнаружено в пространствах более высоких размерностей. Математики исследовали этот вопрос. В четырехмерном пространстве существуют «всего» 4783 пространственные группы, поэтому пятимерные существа (которым нужны четырехмерные обои для украшения своих гиперкубических комнат) найдут гораздо более широкое разнообразие узоров в своих обойных гипермаркетах, чем мы, существа трехмерные.

Не все симметрии очевидны, и именно поэтому я хочу подтолкнуть вас к тому, чтобы вы приобрели способность оценивать красоту более высоких абстракций. С этого момента наше обсуждение неизбежно становится более абстрактным, а понятия более трудно представимыми визуально; но мы будем пускать в обращение эти замысловатые трудности постепенно и с осторожностью, и вы с удовольствием обнаружите, что все можете понять. Здесь мы увидим, что симметрия больше не является наглядной, но зато становится могущественной, ибо она является источником законов. Симметрия ведет.

Мы уже видели пример ведущей и контролирующей роли симметрии. Мы видели в главе 3, что сохранение энергии является следствием однородности времени. Следствием того, что время является гладким, не состоящим из кусков — более формально, время является трансляционно инвариантным, — является то, что энергия сохраняется. Мы видели также, что сохранение импульса является следствием гладкости пространства — того, что пространство трансляционно инвариантно при отсутствии сил — и что сохранение момента импульса является следствием изотропности пространства — того, что пространство инвариантно относительно вращений при отсутствии вращающих моментов. Отсутствие кусковатости у пространства и времени является проявлением их симметрии, поэтому мы видим, что эти могущественные законы сохранения вытекает из симметрии. Эмми Нётер (1882-1935), наиболее выдающаяся и авторитетная из когда-либо родившихся на свет женщина-математик, установила результат огромной важности, известный теперь, как теорема Нётер, о том, что там, где существует симметрия, всегда есть соответствующий ей закон сохранения.

Некоторые симметрии скрыты от прямого наблюдения, но все равно имеют соответствующие им следствия. Теперь все, что я попрошу вас делать, это отмечать совпадения и задавать себе вопрос, не являются ли они следствием симметрии. Знаком того, что под поверхностью явлений скрывается симметрия, является точное равенство энергий различных конфигураций частиц: если две конфигурации связаны преобразованием симметрии, то энергия этих двух конфигураций одинакова. Мы столкнулись с особенно подходящим примером в главе 5, когда увидели, что в атоме водорода энергия электрона, который находится на s-орбитали, является точно такой же, как энергия электрона, находящегося на p-орбитали той же оболочки. s-орбиталь является сферической, а p-орбиталь имеет две доли, поэтому, хотя легко увидеть, что p-орбиталь можно повернуть и получить другую p-орбиталь, совсем не очевидно, что p-орбиталь можно повернуть так, чтобы получить s-орбиталь. Я уже упоминал, что потенциальная энергия — энергия, связанная с положением электрона в электрическом поле ядра, так называемая кулоновская потенциальная энергия — является в некотором специальном смысле красивой, и теперь я могу объяснить, что я имею в виду.

Кулоновская потенциальная энергия сферически симметрична. То есть, куда бы мы ни поместили электрон на заданном расстоянии от ядра — на северном или южном полюсе, на экваторе или где-нибудь между ними — его потенциальная энергия будет в точности той же самой. Потенциальная энергия меняется с расстоянием от ядра, но при заданном расстоянии она независима от угла. Эта сферическая симметрия говорит нам, что преобразования симметрии атома включают вращения на любой угол относительно  любой оси, в точности как симметрические операции для сферы. Раз это так, три p-орбитали могут быть переведены одна в другую преобразованием симметрии сферы, поэтому их энергии одинаковы. Однако все еще кажется, что мы не можем перевести поворотом s-орбиталь в p-орбиталь.

Вот необычайный факт: кулоновская потенциальная энергия великолепна, в том смысле, что она имеет вращательную симметрию не только в трех измерениях (как мы уже видели), но также и в четырех. Эта более высокая симметрия означает, что в четырех измерениях может существовать вращение, которое превращает трехмерную s-орбиталь в трехмерную p-орбиталь. Если это так и мы можем вращением превращать различные орбитали друг в друга, то они будут иметь одинаковую энергию.

Я понимаю, что, ожидая от вас мышления в четырех измерениях, я перешел бы границы дозволенного (по крайней мере, пока мы не доберемся до главы 9) и сейчас не стану требовать от вас этого. В качестве компенсации я использую простую аналогию. Представьте себе сферу, покоящуюся на плоскости. Плоскость представляет наш трехмерный мир, а сфера представляет четырехмерный мир, только проекция которого нам видна. Предположим, что мы окрасили северную половину сферы в черный цвет, а южную половину в белый. Мы можем провести линию от северного полюса и спроецировать с ее помощью поверхность сферы на плоскость. Эта проекция окрашенной сферы имеет вид круга (рис. 6.7). Затем повернем сферу на 90° в положение, показанное во второй части иллюстрации. Новая проекция делит плоскость на две половины, черную и белую. Другая ориентация сферы показана в третьей части иллюстрации и имеет такую же проекцию, но повернутую на 90°. Мы, плоскомирцы, находим вполне правдоподобным, что вторая и третья проекции связаны вращением, поэтому мы не удивляемся, что эти «p-орбитали» имеют одинаковую энергию. Однако, нас поистине озадачит тот факт, что их можно преобразовать в первую, круглую форму, поэтому мы не можем понять, что «s-орбиталь» имеет такую же энергию, как и две p-орбитали. У наблюдателя из трех измерений нет таких хлопот: этот наблюдатель видит, что все наши картинки из Плоскомирья, как проекции сферы, связаны простым вращением. Точно такие же соображения приложимы к орбиталям атома водорода, и мы видим, что равенство энергий у не связанных с виду орбиталей является следствием их симметрии, спрятанной в четвертом измерении.

Рис. 6.7. Пояснение к тому, как можно, повысив размерность, вращением перевести s- и p-орбитали друг в друга. Орбитали представлены картинками в двумерном пространстве. Если мы допустим, что эти картинки являются проекциями сферы в трехмерном пространстве на двумерное пространство, то мы можем увидеть, что вращение сферы меняет местами двумерные картинки. Кулоновский потенциал имеет четырехмерную симметрию, что допускает возможность вращений подобного типа.

Имеется и другой очень продуктивный способ рассмотрения, который вскоре даст свои плоды. Энергия электрона на s-орбитали не в точности такая же, как у электрона на p-орбитали. Ученые знают почему: между орбитальным движением электрона и его спином имеется очень слабое магнитное взаимодействие, которое немного сдвигает значение энергии. Это пример нарушения симметрии, процесса, при котором, несмотря на то, что в основе лежит преобразование симметрии, другое слабое примесное взаимодействие приводит к тому, что энергии разных состояний отличаются друг от друга. Можно другим способом взглянуть на это нарушение симметрии, вспомнив, что, согласно частной теории относительности Эйнштейна, энергия и масса эквивалентны (E = mc², глава 9), поэтому мы могли бы выразить разницу энергий электронов на s-орбиталях и p-орбиталях как разницу их масс. Иными словами, разница масс возникает из взаимодействия, нарушающего симметрию. Разность энергий в данном случае очень мала, поэтому разница масс, порожденная нарушением симметрии, мала в высшей степени, всего 1×10⁻³⁷ г; но, говоря вкратце, хотя эта разница вполне пренебрежима, она расцветет чем-то действительно важным.

Захватывающая красота центрально-симметричной кулоновской потенциальной энергии, которую следует считать самым великолепным видом потенциальной энергии, из тех, что можно вообразить, теряется, как только в атоме появляется второй электрон. Как мы видели в главе 5, энергетические уровни атома водорода служат хорошим первым приближением для энергетических уровней всех других атомов. Тогда, при условии, что мы допускаем изменения энергии, обусловленные электрическим отталкиванием между электронами (приводящим, например, к тому, что электроны на s-орбиталях имеют несколько меньшую энергию, чем электроны на p-орбиталях), структура периодической таблицы возникает автоматически. Однако существует другой, более изощренный, основанный на симметрии способ понимания смысла периодической таблицы.

В первом приближении мы можем выразить структуры атомов всех элементов в терминах заполнения водородоподобных атомных орбиталей. Поскольку энергии орбиталей в каждой оболочке одинаковы, этот подход даст забавный вид периодической таблицы. Так как все s-орбитали и p-орбитали (так же как d-орбитали и f-орбитали) в оболочке имеют одну и ту же энергию, мы утрачиваем структуру таблицы, и оказывается, что нет никаких причин для появления у элементов разных химических индивидуальностей. Если угодно, можно представить себе, что группы таблицы (вертикальные колонки) недифференцированы и сложены в кучу одна поверх другой. Однако, поскольку электроны на самом деле взаимодействуют друг с другом и нарушают четырехмерную симметрию кулоновского потенциала, s- и p-орбитали данной оболочки обладают разными энергиями. Коль скоро мы допустили нарушение симметрии, периодическая таблица кристаллизуется, образуя знакомую нам форму (рис. 6.8). Поэтому химия, выраженная в периодической таблице, является изображением лежащей в ее основе симметрии кулоновской потенциальной энергии, нарушаемой взаимодействиями присутствующих в каждом атоме электронов. С этой точки зрения химия вообще есть описание симметрии и ее нарушений, описание отклонений от совершенной симметрии, наделяющих химические элементы индивидуальностью. Менделеев немного знал о симметрии, ничего не знал о скрытой симметрии и еще меньше о нарушении симметрии. Он, надеюсь, увлекся бы мыслью, что его таблица является описанием следствий нарушения симметрии кулоновской потенциальной энергии.

Рис. 6.8. Это фантастическое изображение структуры периодической таблицы. Если мы сбросим со счета взаимодействие между электронами, то каждый электрон будет подвергаться действию высоко симметричного кулоновского потенциала ядра, и периодическая таблица не будет иметь структуры (периоды, однако, сохранятся): это представлено штабелем групп слева на иллюстрации. Но если мы допускаем нарушение симметрии (то есть принимаем в расчет отталкивание между электронами), группы развертываются в знакомую структуру периодической таблицы.

Но этого мало. Мы видели также в главе 5, что принцип запрета Паули, не позволяющий более чем двум электронам занимать одну орбиталь, предотвращает скопление электронов на орбите, и если два электрона все же заняли одну орбиталь, то их спины должны быть парными (один спин направлен по часовой стрелке, а другой — против часовой стрелки). Этот принцип тоже имеет корни в симметрии, поэтому форма периодической таблицы, тот факт, что атомы имеют объем, и возможность наблюдать, что мы отличны от нашего окружения, все это имеет корни в симметрии. Как мы сейчас увидим, симметрия, лежащая в основе принципа Паули, имеет довольно тонкую природу, но ее нетрудно понять.

Так как, согласно квантовой теории, мы не можем проследить траектории электронов, любой электрон во Вселенной совершенно неотличим от любого другого электрона. Эта неотличимость предполагает, что если бы мы могли поменять местами любые два электрона в атоме, все свойства атома остались бы теми же самыми. Другими словами, электроны демонстрируют перестановочную симметрию.

Здесь мне придется немного обобщить понятие орбитали и предвосхитить один или два аспекта более широкого обсуждения в главе 7; если нижеследующее обсуждение затруднит вас, вернитесь к нему после того, как вы прочтете первую половину этой главы. Мы видели, что орбиталь сообщает нам о вероятности положения электрона в атоме. Орбиталь является частным случаем волновой функции, которая есть решение уравнения Шредингера для любой частицы в окружении любого типа, а не только для электрона в атоме. С этого момента мы будем пользоваться этим более общим термином. Второе, что нам следует знать, это то, что вероятность нахождения частицы в данной точке — которую мы до сих пор представляли плотностью тени — задается квадратом значения ее волновой функции в этой точке. Одним из следствий этой интерпретации является то, что волновая функция и ее негатив с противоположным знаком имеют одинаковый физический смысл (потому что одинаковы их квадраты). Это сохраняет открытой возможность того, что волновая функция может изменить знак при обмене местами двух электронов: мы просто не заметили бы этого. Так оно и есть на самом деле. Паули обнаружил, что он может объяснить определенные детали излучения атомов, лишь если волновая функция атома меняет знак при перестановке любых двух электронов. Мы говорим, что волновая функция должна быть антисимметричной (то есть менять знак) относительно перестановки электронов. Принцип запрета Паули, утверждающий, что на атомной орбитали не может находиться более двух электронов, следует из этого более глубокого утверждения, поэтому структура атомов, его объем и наш собственный объем проистекают из симметрии. Симметрия раздувает.

Теперь мы действительно готовы подтянуть себя на более высокую зарубку абстракции, и я надеюсь, что ваш ум уже подготовлен к этому. Почти все, о чем мы говорили до сих пор, касалось преобразований симметрии, производимых в пространстве. Но для жизни доступно не только пространство. Теперь мы направим наше внимание на внутренние симметрии частиц, симметрии, относящиеся к действиям, которые мы можем произвести с частицами, приколотыми к одной точке пространства, как бабочка в витрине, которую нельзя передвинуть в пространстве, отразить, повернуть или вывернуть наизнанку.

Некоторые из этих симметрии — они потом превратятся в почти симметрии, нарушенные симметрии — довольно легко вообразить. Начнем с двух составляющих ядра, с которыми мы столкнулись в главе 5, протона и нейтрона, которые вкупе называются нуклонами. Эти две частицы подозрительно похожи: они имеют похожую массу (нейтрон чуть-чуть тяжелее, то есть у него чуть-чуть больше энергии) и обе имеют свойство, известное нам как спин. Принципиальной разницей между ними является то, что протон заряжен, а нейтрон нет. Если мы на мгновение забудем о разнице масс, то эти частицы окажутся близнецами. То есть между ними существует симметрия. Физики, изучающие элементарные частицы, думают об этой симметрии в терминах свойства, носящего название изоспин (поскольку его свойства аналогичны свойствам спина). Изоспин «по часовой стрелке» соответствует «включенному» заряду (протон), а изоспин «против часовой стрелки» соответствует «выключенному» заряду (нейтрон). Эти две частицы действительно являются одной: одна (протон) является нуклоном с положительным изоспином, а другая (нейтрон) — нуклоном с отрицательным изоспином. Все что надо сделать, чтобы перевести протон в нейтрон, это перевернуть его изоспин.

В первом приближении свойства нуклона не зависят от направления его изоспина. Однако симметрия между положительным и отрицательным изоспином несовершенна и слабо нарушается другими взаимодействиями, такими как взаимодействие нуклонов с электромагнитным полем. Энергия взаимодействия с электромагнитным полем различна для положительного и отрицательного изоспина. Следовательно, массы двух состояний нуклона немного различны: состояние нуклона с отрицательным изоспином (нейтрон) оказывается несколько более массивным, чем состояние с положительным изоспином (протон).

Идентификация изоспина (Гейзенберг) похожа на открытие триад связанных элементов Доберейнером двумя веками раньше (глава 5). Доберейнер идентифицировал фрагменты полного узора, узор, в свой черед, был идентифицирован Менделеевым и оказался портретом лежащего в основе нарушения симметрии более слабыми взаимодействиями. Не может ли быть, что и все элементарные частицы связаны симметрией, а различия их масс являются следствием нарушения симметрии? Существует ли периодическая таблица элементарных частиц, и лежат ли корни этой таблицы в симметрии и ее частичной потере?

Нам следует отступить немного назад. Менделеев смог составить свою таблицу, потому что он имел доступ к информации о большой части всех элементов. Подобным же образом нам необходимо войти в зоопарк частиц, чтобы увидеть, что там находится. Доберейнер не имел возможности продвинуться дальше своих триад с тем малым количеством данных, которые были у него в руках; мы сможем продвинуться дальше изоспина только после того, как у нас будет достаточно данных, чтобы получить более широкий обзор.

Физики, изучающие элементарные частицы, являются настоящими вандалами. В интересах будущей цивилизации они берут один кусок вещества, с яростью швыряют его в другой и роются в разлетевшихся осколках, возникших из этого столкновения. Как вы можете подозревать, чем больше сила удара, тем более мелкими — и, предположительно, более фундаментальными — будут фрагменты. Ускорители частиц, используемые для того, чтобы столкнуть частицу с частицей, представляют собой реализацию мечты древних греков, поскольку с их помощью мы можем надеяться раздробить материю до конца.

Но с этой проблемой надо быть осторожными. На какие осколки разлетается вещество, зависит от силы столкновения. Возможно, мы никогда не будем уверены, что добрались до конца дробления, так как постройка более крупного ускорителя может позволить раздробить вещество еще больше (в этом деле размер действительно важен, ибо с ним увеличивается и сила). Конечно, когда мы достигнем конца этой главы, мы увидим, что это как раз тот случай, в котором, чтобы проверить наше понимание предельной основы мира, нам необходимо было бы построить ускоритель, который перекрыл бы Вселенную и поглотил бы больше ресурсов, чем способны произвести все существующие экономики.

Держа в уме эту мысль, мы, может быть, стоим на ступени, достигнутой Дальтоном два века назад, когда он сосредоточил достаточно энергии — малой, химической энергии, — чтобы прийти к понятию атомов, и смог построить теорию, основанную на их индивидуальных свойствах, безотносительно к их внутреннему устройству. Как скалолаз на опрокинутом Эвересте, наука бывает рада отдохнуть на различных ровных площадках в своем путешествии вниз, к глубинам, и не торопится попасть слишком глубоко в неизвестное. Атомы были в достаточной мере фундаментальны для викторианцев, наши элементарные частицы мы подобным же образом будем считать фундаментальными для нас в достаточной мере. Иными словами, пока (но не до конца этой главы) мы будем считать, что уже имеющийся у нас зоопарк частиц и есть реальный зоопарк, или, по крайней мере, достаточно фундаментальный зоопарк, в котором мы встречаем животных, пойманных нашими охотниками-вандалами с тех пор, как впервые в 1897 г. был разорван на части атом, и в 1919 г. не устояло перед атакой ядро.

Когда мы думаем о частицах, мы думаем о составляющих их частях и о силах, удерживающих эти части вместе, об их клее. Ученые обнаружили одну силу, ответственную за все такие взаимодействия. Хотя это преувеличение. Выражаясь более точно, они верят, что существует только одна сила, действующая во Вселенной, очень экономная, но проявляющая себя пятью различными способами. Три проявления — электрическая, магнитная и гравитационная силы — знакомы нам по повседневной жизни. Два других проявления — слабое и сильное взаимодействия — совершенно не знакомы.

Одним из величайших достижений науки девятнадцатого века была демонстрация того, что электрические и магнитные силы лучше всего представлять себе как две стороны одной электромагнитной силы, которую провел шотландский ученый Джеймс Клерк Максвелл (1831-79)[23] в своей Динамической теории электрического поля (1864). Максвелл основывал свою теоретическую работу на результатах, которые экспериментально получил блистательный, но не умевший выражаться математически ясно Майкл Фарадей (1791-1867), ранее введший в физику понятие поля как области действия силы. Вообще говоря, электрическая сила действует между всеми заряженными частицами, а магнитная сила действует между заряженными частицами в движении, такими, как поток электронов в соседних витках проволоки. Одним из важнейших плодов этой унификации двух ранее отдельных сил было то, что Максвелл пролил свет на загадочную до тех пор природу света и продемонстрировал, что свет является электромагнитным излучением, электромагнитным полем в полете. Такое понимание было подтверждено в 1888 г., когда Генрих Герц (1857-94) создал и зарегистрировал радиоволны: результатом этого явилась история современной связи. Вторым интеллектуальным плодом была теория относительности, которая появилась, когда уравнения Максвелла предстали перед проницательным взглядом Эйнштейна (глава 9).

Третий плод упал с того же дерева в начале двадцатого века, когда в 1905 г. появилось развитое Эйнштейном понятие фотона (см. главу 7), пакета электромагнитной энергии, название которому дал в 1916 г. американский химик Г.Н. Льюис. Фотон был первой из открытых частиц-переносчиков взаимодействия, частиц, которые переносят силу между излучающей и реагирующей частицами, такими, как два электрона или электрон и ядро. Фотон является частицей-переносчиком взаимодействия для электромагнитного поля, передавая силу от частицы к частице и путешествуя со скоростью света.

На этой стадии нам необходимо отметить два свойства фотонов, которые пригодятся нам позднее. Фотон не имеет массы и, как и электрон, обладает спином, который не может быть уничтожен. По техническим причинам, связанным с квантово-механическим описанием спина, электрону приписывается спин, равный одной второй от единицы момента импульса. По тем же причинам фотону приписывается единичный спин. Частицы с полуцелым спином (включающие в себя, кроме электронов, протоны и нейтроны) называются фермионами в честь итальянского физика Энрико Ферми (1901-54), который открыл способ описания их ансамбля, а также возглавлял во время войны проект по созданию первого ядерного реактора в рамках проекта Манхэттен. Частицы с целым спином называются бозонами в честь индийского физика Сатьендранатха Бозе (1894-1974), который изучал статистические свойства систем, состоящих из большого числа таких частиц, как, например, контейнеры, наполненные светом, или солнечные лучи. Оказывается, что все фундаментальные частицы вещества являются фермионами, в то время как все частицы-переносчики взаимодействия являются бозонами. Поэтому описание материи, как ансамбля фермионов, удерживаемых вместе бозонами, является очень глубоким.

Любой задумчиво созерцающий звезды влюбленный мог бы сказать вам, что фотоны не имеют массы, ибо то, что мы можем видеть звезды, является прямым следствием этой безмассовости. Цепочка аргументов, доказывающих это, примерно следующая. Во-первых, мы видели в конце главы 3, что частицы, живущие очень короткое время, обладают большой неопределенностью энергии. Далее, для того чтобы частицы-переносчики взаимодействия с данной массой могли появиться, они должны позаимствовать энергию, пропорциональную их массе (согласно E = mc²): тяжелые частицы соответствуют присутствию большой энергии. Частицы могут появиться, минуя полицию, следящую за выполнением закона сохранения энергии, только если они живут столь короткое время, что кража при любой ревизии энергии будет сокрыта под неопределенностью. Следовательно, тяжелые частицы могут появиться, не будучи задержаны полицией сохранения энергии, только если они живут очень короткое время (вы имеете возможность смыться с прихваченным миллиардом — долларов в течение пикосекунды). И, наконец, третье звено в цепочке аргументов. За время своего существования частица-переносчик взаимодействия летит с высокой скоростью, и расстояние, которое она может пролететь, пропорционально времени, отведенному ей для жизни. Тяжелая частица-переносчик взаимодействия со своим коротким временем жизни, не может путешествовать далеко. С другой стороны, для того чтобы частица-переносчик взаимодействия улетела бесконечно далеко, она должна жить вечно, что может произойти без ареста со стороны полиции сохранения энергии, только если в начале полета ничего не было похищено. То есть она не должна иметь массы. Следовательно, для того чтобы электромагнетизм имел бесконечный радиус действия, фотон должен быть безмассовым. Если бы фотон имел массу, электромагнитное излучение было бы неспособно преодолевать большие расстояния, и мы не могли бы видеть звезд; наш влюбленный не созерцал бы звезды. Если бы фотон в самом деле был тяжелым, атомы распались бы, потому что притяжение ядер не смогло бы распространиться достаточно далеко для того, чтобы захватить электроны.

Третьей знакомой силой является гравитация. Гравитация действует между частицами, но она гораздо слабее, чем электромагнитное взаимодействие. Например, гравитационное взаимодействие между двумя электронами в 10⁴² раза слабее, чем их электромагнитное взаимодействие. Там, где гравитационная сила могла бы сдвинуть блоху весом один миллиграмм, электромагнитная сила сдвинула бы миллион Солнц. То, что мы не затоплены электромагнетизмом и можем ощущать гравитацию, является следствием того факта, что Вселенная состоит из равного числа положительно и отрицательно заряженных частиц, так что притяжение и отталкивание аннулируются в космическом масштабе. А вот гравитация имеет только один знак: существует лишь гравитационное притяжение, нет никакого отталкивания, поэтому нет и аннулирования. Все частицы Вселенной действуют хотя и слабо, но сообща, и мы испытываем силу их совместного притяжения. Локально первостепенными являются электромагнитные силы: ваша форма определяется в большой мере электромагнитными силами, и тот факт, что вы не растекаетесь по земле в виде бесформенной лужи, обязан своим существованием подавляющему преобладанию электромагнетизма над гравитацией.

Существует идея, что у гравитации тоже есть частица-переносчик взаимодействия. По крайней мере, она имеет название — гравитон, — но пока не обнаружена, поскольку очень слабо взаимодействует с веществом. Гравитон — это безмассовый бозон, как и фотон, но вращается в два раза быстрее. То, что гравитация распространяется на почти бесконечное расстояние, является признаком того, что гравитон не имеет массы. Любой опытный моряк мог бы сказать вам, что гравитон имеет спин 2, поскольку существует цепочка тонких аргументов, связывающая эту двойную скорость вращения с тем фактом, что в наших океанах приливы случаются дважды в день.

Теперь мы подходим к двум незнакомым силам, сильному взаимодействию и слабому взаимодействию. Хотя они и незнакомы, но думающая личность могла бы сделать вывод о существовании сильного взаимодействия. Аргументы таковы. Ядра состоят из протонов и нейтронов, сложенных в месте в очень малом объеме. Электромагнитная сила отталкивает протоны друг от друга (поскольку они имеют одинаковый заряд, а одинаковые заряды отталкиваются), поэтому у ядра имеется сильная тенденция к распаду. (Некоторые из ядер радиоактивных элементов, таких как радий, именно так и поступают, и именно по этой причине.) Что удерживает протоны в ядре? Более того, почему незаряженные нейтроны просто не выпадают?

Что их удерживает? На нейтроны не действует никакая электрическая сила, поэтому они должны притягиваться чем-то еще. Коротко говоря, раз большинство ядер не распадается, и раз большинство из них удерживает свои нейтроны, должна существовать сила, превосходящая электромагнитную силу, которая действует между протонами, между нейтронами и между протонами и нейтронами. Кроме того, поскольку все вещество во Вселенной не свернулось в одно огромное ядро, это притягивающее сильное взаимодействие должно иметь очень короткий радиус действия, не превосходящий примерно диаметра ядра.

Здесь я должен сделать предупреждающее замечание. Нейтроны и протоны являются составными частицами, сложенными из кварков (см. ниже). То, что мы рассматриваем в действительности, является не чистым взаимодействием между нуклонами — общим результатом притяжения между одними компонентами и отталкивания между другими, — а более детализированным взаимодействием между их индивидуальными составляющими. А в этом может заключаться огромная разница. Например, вы и я, даже в тесных объятьях, имеем фактически нулевую электромагнитную силу, действующую между нами, несмотря на то, что ядра наших атомов сильно отталкиваются друг от друга, и наши электроны тоже друг от друга сильно отталкиваются: эти сильные отталкивания аннулируются сильными притяжениями между вашими и моими электронами и ядрами (рис. 6.9). Поэтому, если мы думаем о нас с вами, как о двух композициях частиц, то факт, что наше результирующее электромагнитное взаимодействие равно нулю, аннулирует тот факт, что наши компоненты имеют очень сильное дальнодействующее взаимодействие.

Рис. 6.9. Здесь показан необычайно тонкий баланс между двумя электрически нейтральными телами, состоящими из электронов (серый фон) и ядер (черные точки). Сила отталкивания между электронами в двух таких шарах с водой (представляющих человеческие тела в тесных объятиях) составляет триллионы и триллионы ньютонов (Н, единица силы; один ньютон приблизительно равен силе тяготения, действующей на стограммовое яблоко на дереве). Отталкивающая сила между ядрами имеет такое же значение. Однако притяжение между электронами одного тела и атомами другого также составляет триллионы и триллионы ньютонов, и по счастливой случайности отталкивание и притяжение в точности компенсируют друг друга. Это означает, что между нами в результате нет ни притяжения, ни отталкивания.

Подобным же образом конечное взаимодействие между ядрами, которые являются составными частицами, может быть совершенно отличным от силы, действующей между составляющими их кварками. Это и в самом деле так. Остаточная сила, действующая между нуклонами, имеет очень короткий радиус действия, диаметр ядра. Однако силы, действующие между индивидуальными кварками, действительно «сильные», имеют бесконечный радиус действия, а их частицы-переносчики взаимодействия являются безмассовыми бозонами и называются глюонами. В отличие от знакомых сил, сильное взаимодействие становится сильнее с возрастанием расстояния между кварками. Позднее мы более подробно исследуем глюоны и «сильные заряды» этого вывернутого наизнанку мира.

Я не ожидаю от вас догадок о существовании слабого взаимодействия или каких-либо его свойств. Слабые силы были предложены, чтобы объяснить определенные виды радиоактивного распада. Хотя об этом лучше всего думать на языке кварков, конечное действие этой силы можно вообразить как влияние, которое медленно дергает нейтрон и, вырывая из него электрон, превращает в протон. Электрон выскакивает из ядра и порождает форму радиоактивности, известную как β-распад (бета-распад). Слабая сила имеет очень короткий радиус действия, меньший, чем диаметр ядра. Она передается частицами, которые называются W и Z векторными бозонами с массами около восемнадцати и девятнадцати масс протона соответственно.

В целом частицы-переносчики взаимодействия называют калибровочными частицами. Происхождение этого странного и сухого названия вскоре станет ясным. А пока достаточно будет сказать, что фотон, гравитон, векторные бозоны и глюоны являются калибровочными частицами, и это первый из получаемых нами намеков на то, что фундаментальные силы имеют общий источник. И в самом деле, начатая Максвеллом унификация сил дошла до объединения электромагнитного и слабого «взаимодействий в единую силу, называемую электрослабым взаимодействием. Эта унификация является проявлением симметрии, и мы еще вернемся к ней, когда познакомимся с зоопарком частиц более подробно.

Зоопарк делится на два больших парка. В одном парке бродят «адроны», в другом «лептоны». Адроны являются частицами, которые участвуют в сильном взаимодействии. В парке адронов мы рассмотрим только сами кварки, поскольку все причудливые творения, гуляющие там (протоны, нейтроны и много других занятных диковин), строятся из этих кварков посредством законов, основанных на специальном виде симметрии. Возможно, вы слыхали в этой связи о восьмеричном пути[24] (рис. 6.10). Восьмеричный путь представляет собой род периодической таблицы адронов, в которой они классифицируются на основе специальной группы преобразований симметрии. Протон и нейтрон принадлежат одному семейству, и мы можем рассматривать их родство через изоспин как аналог триады (в данном случае диаду) Доберейнера для частиц, фрагмент узора общей классификации. Лептонами являются все остальные частицы: они являются частицами, не участвующим в сильном взаимодействии.

Рис. 6.10. Восьмеричный путь — это способ классификации и соотнесения элементарных частиц, довольно похожий на периодическую таблицу химических элементов. Здесь мы видим график для восьми частиц (только протон p и нейтрон n, видимо, нам знакомы, но они являются экзотическими единоутробными братьями), где по одной оси отложен изоспин (обсуждавшийся в тексте), а по другой оси — еще один вид внутренней симметрии, называемый гиперзарядом. Этим «путем» восемь частиц оказываются связанными. Более изощренные схемы улавливают и другие частицы.

Довольно любопытен и требует объяснения факт, что существуют три семейства адронов и три семейства лептонов (рис. 6.11). Как это случается и с типичными семействами в реальной жизни, три семейства частиц состоят из двух групп частиц, которые образуют два поколения.

Давайте сначала посмотрим на лептоны. Одно семейство содержит электрон и электронное нейтрино, другое — мюон и его нейтрино, а третье — тау-частицу (тау-лептон) и ее нейтрино. Нейтрино имеет очень маленькую массу — много меньшую, чем масса электрона, — а возможно, даже равную нулю; пока никто точно не знает. Нейтрино не имеют заряда, обладают очень малой массой, но спин у них равен одной второй. Чтобы эти три типа нейтрино различались, у них должно быть и другое свойство; за неимением лучшего слова его назвали ароматом. Поэтому нейтрино являются почти безмассовыми, спиновыми и ароматными. Мюон похож на умеренно утяжеленный электрон, с таким же зарядом и спином, но в 204 раза тяжелее, настолько тяжелее электрона, насколько шар для боулинга тяжелее шарика для пинг-понга. Тау-лептон намного более тяжел и имеет вес около 3500 электронов, настолько тяжелее электрона, насколько большая собака тяжелее шарика для пинг-понга.

Существуют также античастицы этих частиц. Античастицы — частицы антивещества — представляют особый интерес для писателей-фантастов из-за экзотического звучания их наименования. Они не экзотичны: оно просто довольно редки. Античастицы имеют все свойства соответствующих частиц, но противоположный знак заряда. Например, античастицей электрона является положительно заряженный позитрон с такой же массой и спином, как у электрона. Один из вопросов, которые мы должны будем рассмотреть: почему вокруг нас так мало антивещества, почему во Вселенной существует асимметрия между веществом и антивеществом?

Рис. 6.11. Таблица трех семейств элементарных частиц, показывающая два поколения лептонов и адронов (кварков) в каждом случае. Массы измеряются в единицах массы протона.

Как мы видим на иллюстрации (рис. 6.11), шесть кварков, которые составляют адроны, также распадаются на три семейства с двумя поколениями в каждом. Как и для лептонов, мы можем различать семейства по их массам. Кварковыми двойниками электрона и его нейтрино являются верхний кварк (u-кварк, от англ. up) и нижний кварк (d-кварк, от англ. down), весящие в 8,7 и 13,7 раза больше электрона соответственно. Кварковыми двойниками мюона и его нейтрино являются очарованный кварк (c-кварк, от англ. charm) и странный кварк (s-кварк, от англ. strange), весящие 3000 и 300 масс электрона соответственно. Двойниками тау-лептона и его нейтрино являются истинный кварк (t-кварк, от англ. truth) (был обнаружен последним из всех, в 1995) и красивый кварк (b-кварк, от англ. beauty), весящие как слоны, 350 тысяч и 10 тысяч масс электрона соответственно. Об этих различных вариациях кварков — верхний, нижний, странный и так далее — говорят, так же как о различных нейтрино, как об имеющих различные ароматы. Большая часть знакомого нам вещества (в частности, протоны и нейтроны в ядрах и электроны в атомах) сделаны из лептонов и кварков первого семейства (электрон, его нейтрино, — u- и d-кварки), а другие семейства вносят вклад только в более экзотические формы вещества. Откровенно говоря, существование второго и третьего семейств кажется излишним, но, без сомнения, для этого имеется причина, поскольку причина имеется для всего. Не лежит ли причина в симметрии? Мы увидим, что ответ, возможно, является утвердительным, если понятие симметрии соответствующим образом расширить.

Ни один из кварков никогда не наблюдался отдельно. Это подводит меня к необходимости сделать одно замечание, чтобы подготовить ваш ум к оценке еще одной подвижки научной парадигмы, которая произойдет к концу этой главы. Греки по большей части терпели неудачи как ученые, поскольку они избегали экспериментирования или не пользовались им: у них была только теория, не контролируемая и не поддерживаемая опытом. Тот факт, что кварки не были непосредственно зарегистрированы, а в их существование верят, поскольку этого требует успешная на сегодняшний день теория, и их существование подтверждается огромным количеством косвенных экспериментов, является, возможно, опасным шагом назад к грекам и, без сомнения, угнетает позитивистов. В этом месте теория построена довольно умно, и нисколько не оказывается подорванной, потому что она сама и предсказывает, что изолированные кварки не могут быть обнаружены, ибо, как было упомянуто, сильное взаимодействие между кварками возрастает с ростом расстояния между ними, так что они никогда не могут покинуть образованные ими комбинации. Поэтому то, что они не обнаружены, является частью доказательства их существования! Так поверить ли нам в кварки или отвергнуть их, как когда-то были отвергнуты атомы, сочтенные лишь вычислительными символами? Они объясняют так много, включая и экспериментальные следствия их существования, что мы, вероятно, поверим. Если вас удовлетворяет такой вид веры, такой вид реальности, то вы сочтете возможным принять и то, что последует дальше.

Вот и все, что относится к делу: три семейства фермионов с похожими свойствами, за исключением их спинов и различия их способностей вступать в различные взаимодействия, особенно в сильные взаимодействия. Все существующее, насколько мы знаем, построено из этих компонент, связанных вместе, как они есть, четырьмя типами калибровочных бозонов. Мир в сущности необычайно прост.

А вот наше описание мира недостаточно просто. Пусть и очень маленькое, но это число частиц — четыре фермиона (если мы сосредоточимся на первом семействе) и несколько калибровочных бозонов — все еще является огромным, если мы ищем истинную простоту. Мы уже отмечали, что W- и Z-бозоны в слабом взаимодействии и фотоны в электромагнитном взаимодействии являются различными ликами частиц-переносчиков электрослабого взаимодействия. А не может ли быть, что все фермионы есть различные лики одной и той же сущности, и все бозоны тоже? Не может ли быть, в конце концов, что фермионы и удерживающие их вместе бозоны в действительности являются различными ликами единственной сущности? Вот это было бы тем самым, тем, что приближает нас к истинной простоте.

Похоже, что дело именно так и обстоит. Однако, чтобы понять, что это означает, нам придется вернуться к теме этой главы, симметрии, и увидеть, как симметрия создает возможности для углубленного понимания того, что кажется нам предельным. Чтобы наглядно вообразить, как симметрия может связывать не связанные с виду вещи, вы можете представить себе куб. Если смотреть сверху, он выглядит квадратом. Если смотреть со стороны угла (и закрыть один глаз), он выглядит как шестиугольник (рис. 6.12). Вращение куба превращает квадрат в шестиугольник. Это очень странное превращение для двумерного наблюдателя, но оно является самой простотой для нас, имеющих доступ к третьему измерению. Полезно держать в голове этот образ, когда мы говорим о преобразованиях симметрии, которые связывают не связанные с виду вещи.

Рис. 6.16. То, что кажется одномерной линией с двумя частицами на ней, похожими на точки, в действительности является трубкой с двумя кругообразными струнами. Дополнительная размерность свернута, и мы не осознаем, что она есть, до тех пор, пока не узнаем о более глубокой структуре реальности. Столкновение между двумя частицами на самом деле является столкновением между двумя струнами.

На самом деле, в каждой точке имеется семь свернутых таким образом измерений с как-то надетыми на них струнами, подобно резиновым тесемкам, надетым на трубку. Считается, что уплотненные размерности принимают в каждой точке особую форму. Такие формы называются пространствами Калаби-Яу, по именам двух математиков, Эудженио Калаби и Шинтана Яу, которые их изучали. Физики всегда бывают благодарны математикам, которые, в своей восхитительно умозрительной манере, так часто изучают бесполезные с виду абстрактные понятия для того только, чтобы позднее обнаружить, что они нечаянно приготовили орудие, в точности необходимое, чтобы справиться с новыми проблемами физики.

С точки зрения платоников (см. главу 10), математика уже где-то существует, ожидая, когда ее откроют, так что Калаби и Яу, возможно, скорее выкапывали предсуществующее, чем просто нечто создавали, как им, вероятно, казалось. Рисунок 6.17 демонстрирует одно из таких пространств. Формы, подобные этим — но в семи измерениях, — являются шлангами теории струн, поскольку струны вьются вокруг них и через их отверстия.

Рис. 6.17. Пространство Калаби-Яу. В отличие от линии в пространстве, изображенной на рис. 6.16, являющейся простой трубкой, каждая точка линии на самом деле может быть многомерным пространством. Сечение одного из них показано здесь. Представьте себе структуру, подобную этой (но большей размерности), скрепленную с каждой точкой пространства.

Есть впечатление, что М-теория подходит к ответу на один из главных вопросов, почему существуют три семейства частиц? Ответ, кажется, лежит в симметрии. Однако на этот раз симметрия является симметрией трубок Калаби-Яу и связана с размерностью отверстий в этих пространствах, отверстий, сквозь которые продеваются струны. Эта симметрия является гораздо более изощренной по сравнению с теми, с которыми мы сталкивались до сих пор. Если пространство Калаби-Яу преобразовать определенным образом, то оказывается, что число дыр четной размерности в новом пространстве равно числу дыр нечетной размерности в первоначальном пространстве. Число семейств определяется числом продетых струн и, следовательно, числом отверстий. В этом содержится намек — на сегодняшний день не более чем намек — на то, что число семейств частиц внутренне связано со способом, которым свернуто пространство-время, и число три возникает, как возможное указание на этот способ.

Другой большой вопрос: почему развернулись только три пространственных измерения, создав для нас наше трехмерное пространство. Теория струн даже позволяет предположить, каким должен быть ответ… но это предмет космологии и главы 8.

Теория струн и ее продвинутый вариант, М-теория, обладают удивительной мощью. Но она может не быть научной. Некоторое время назад я предупреждал, что готовлю ваше сознание к той возможности, что науке придется изменить свой критерий приемлемости. Это было связано с кварками: кварки не были обнаружены и, возможно, не могут быть обнаружены, однако мы все больше уверяемся в их существовании, поскольку из него вытекает столь много проверяемых фактов. Это верификация посредством следствия скорее, чем верификация посредством эксперимента; верификация, основанная на слухах, скорее, чем верификация, основанная на прямом опыте. Возможно, настает время, когда черта может оказаться перейденной, но это тот Рубикон науки, который следует переходить с величайшей осторожностью.

От М-теории, апофеоза соображений симметрии, лежащих в сердцевине данной главы, мы сделаем следующий шаг по этому рискованному пути. Для М-теории нет никакой экспериментальной мотивации, это в высшей мере красивая идея, с предложениями о том, как можно разрешить глубокие вопросы, но она не может сделать ни одного численного предсказания. Она предлагает методы расчетов для обширных проблем, таких как число семейств частиц, но, поскольку существуют десятки тысяч пространств Калаби-Яу, имеется в виду скорее жульническое «послесказание», чем предсказание, сообщающее о будущем. Для прямой экспериментальной проверки теории предполагается, что потребуется аппаратура галактических или даже космических масштабов, которая, по-видимому, всегда будет находиться за пределами наших технологических возможностей. Непрямые объяснения, предлагаемые теорией, в высшей степени интересны, а область ее охвата вызывает-священный трепет. Например, М-теория предсказывает существование безмассового бозона со спином 2, то есть гравитона. Гравитация попадает, таким образом, в круг ее действия, и мы можем с необходимыми предосторожностями поверить, что с помощью этой теории последняя и самая трудноуловимая сила может быть объединена с другими силами. Ученые, работающие над М-теорией, прямо жаждут, чтобы это оказалось правдой, ведь это так прекрасно! Но я говорил прежде, и должен подчеркнуть снова, что согревающее удовлетворение, даваемое верой, недостаточно для науки.

Примечания:

2

«Бигль» имел 27 метров в длину и 7 метров в ширину в средней части судна, что примерно эквивалентно 15×4 «дарвинов».

22

Гален из Пергама (129-199), записи о Поликлите.

23

Несущественная и неуместная дополнительная информация: отец Максвелла Джон при рождении был просто Клерком, но приобрел имя Максвелл, унаследовав имение в Киркудбриджшире от своих предков Максвеллов.

24

Это название Гелл-Манн почерпнул из буддизма, философию которого счел убедительной. Восьмеричный путь — это путь Будды, состоящий из восьми ступеней, который, избегая двух крайностей — чувственного сладострастия и самоистязания, — ведет к просветлению и освобождению от страданий. — Прим. пер.

25

Европейский центр ядерных исследований. — Прим. пер.

26

Преобладание правшей в человеческой популяции (что в гораздо меньшей степени развито у других животных) может иметь эволюционное происхождение в тенденции, присутствующей у матерей человеческих детенышей держать их с левой стороны и успокаивать звуком материнского сердцебиения. Такие матери могут более успешно манипулировать предметами свободной правой рукой, и быть поэтому более предпочтительными для естественного отбора. В попытке отделить давление современной культуры от врожденных тенденций проводились исследования средневековых скелетов. Конкурирующая теория утверждает, что праворукость возникла из необходимости дать место в мозгу для развития эволюционно благоприятной речевой функции.

http://www3.ncbi.nlm.nih.gov/htbin-post/Omiffl/dispmim?139900.

27

Распад нейтральных К-мезонов, каонов.

28

Теорию струн называют также теорией суперструн, поскольку она включает аспекты упоминавшейся нами суперсимметрии, связывающей фермионы и бозоны.