|
||||
|
|
Глава девятаяПространство-время Арена действия Великая идея: вещество искривляет пространство-время Где находится то, что происходит? Когда мы смотрим вокруг, ответ кажется очевидным. Мы существуем в пространстве и действуем во времени. Но что есть пространство, и что есть время? И здесь наша интуиция спешит предложить готовый ответ. Мы представляем себе пространство как сцену, возможно, нематериальную сцену, но тем не менее некоторого рода сцену. А время? Время позволяет различить последовательные действия, время является свойством Вселенной, дающим нам возможность опознавать настоящее как вечно движущуюся грань между прошлым и будущим. Иными словами, пространство расставляет по местам одновременные события, а время распутывает непредсказуемое будущее и неизменяемое прошлое. Пространство и время вместе распределяют события по местоположениям и порядковой последовательности, делая их умопостигаемыми. Наука проистекает из существования времени, поскольку главный источник науки, причинность — влияние событий на их последовательность — является по существу систематической преемственностью событий во времени: если сейчас это, то потом то. Однако такие интерпретации времени и пространства скорее сродни чувствам, чем подлинному знанию. Они, возможно, являются скорее отправным пунктом для философа, чем конечным пунктом для ученого. Как мы увидим в этой главе, развитие нашего современного взгляда на время и пространство было освобождением от интуитивной точки зрения, что мир является сценой, ареной действия; но в более недавние времена и этот взгляд начал размываться. Некоторые ученые сегодня считают, что они находятся на пороге открытия даже более великой идеи, чем та, которая является предметом настоящей главы. Наша история начинается с человека, решившего измерять поверхность Земли, осознаваемую тогда в качестве арены действия. На самом деле, они начали мерить не Землю, а землю, что оказалось значимым, судя по последствиям. Разумеется, одним из аспектов научного метода является ограничение амбиций в отношении того, что может быть достигнуто: наука откусывает булочки понемногу, а не пытается слопать великие вопросы за один присест. Ключом к пониманию чего бы то ни было является сочетание наблюдения, особенно количественной разновидности наблюдения, которую мы называем измерением, и систематического способа мышления, который мы называем логикой. Первыми из шагов, которые в конце концов привели нас к современному пониманию нашей арены действия, были измерения, проведенные вавилонянами и египтянами, и логика, развитая греками. Вавилоняне владели процедурой, но не имели доказательств: греки внесли доказательства. Вавилоняне, например, знали за тысячу лет до греков, что сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы, но оставили грекам, возможно, математическому коллективу некоего вида, известному нам под именем Пифагора, доказательство того, что эта связь верна для любого мыслимого прямоугольного треугольника. Процедура является основой знания и базой для приложений, но доказательства обостряют интуицию и ведут нас к более глубокому пониманию. Я остановлюсь ненадолго на теореме Пифагора, поскольку в ней заключено несколько важных уроков. Разумеется, мы увидим, что некоторые черты нашего современного понимания пространства и времени были предвосхищены в трудах Пифагора (около 500 лет до н.э.), Эвклида (около 300 лет до н.э.) и Аполлония из Перга (около 200 лет до н.э.). Об этих персонажах мы не знаем практически ничего, и поскольку большинство анекдотов о них было записано спустя века после их смерти, мы не можем полагаться на эти рассказы. Однако уцелело многое из их необычайных мыслей, золотых сокровищ, содержащих доказательства и прозрения в свойства пустого пространства. Мы начнем с байки и представим себе фантастический подход, который мог использовать древний завоеватель Месопотамии, Хаммурапи, когда он обследовал свои новые владения 3500 лет тому назад. Будем считать, что Хаммурапи жил в мире, полном неудобств, не последним из которых было соглашение, что расстояния с севера на юг измеряются в метрах, а расстояния с востока на запад измеряются в ярдах. Когда землемеры Хаммурапи обследовали его свежезавоеванные поля, они измеряли длины их сторон и, по таинственным причинам, связанным с налогообложением, длины их диагоналей, регистрируя последние либо в метрах, либо в ярдах, как им подскажет фантазия. Можно подозревать, что Хаммурапи нашел мало смысла в числах, которые собрали его землемеры. Например, одно поле, вытянутое с севера на юг, имело стороны 120 метров и 130 ярдов и диагональ 169 метров, в то время как другое, вытянутое с востока на запад, имело стороны 131 ярд и 119 метров с диагональю 185 ярдов. Хаммурапи был озадачен, поскольку оба поля выглядели одинаково. Однажды ему в голову пришла мысль. Он решил отвергнуть древнее соглашение о единицах и приказал, чтобы с этого момента все расстояния регистрировались бы в метрах (м). После большой и усердной работы его землемеры представили ему новый список сторон и диагоналей. Внезапно он увидел, что их измерения стали теперь много более полезными. Стороны обоих полей, выглядевших одинаково, были 120 м и 119 м, а их диагонали были по 169 м. Сведя все эти измерения в один ряд путем использования одинаковых единиц, Хаммурапи отделил форму от ориентации: все объекты одинаковой формы имеют одинаковые размеры, независимо от их ориентации. Хаммурапи пришлось продолжить приведение в порядок измерений в своем царстве и дальше. Не все поля в его царстве имели одинаковые размеры, и его землемеры представляли списки сторон и диагоналей, которые, даже выраженные в метрах, выглядели, на его взгляд, не намного отличающимися от случайных. Например, один богатый землевладелец имел поле со сторонами 960 м и 799 м и диагональю 1249 м, а другой, более бедный землевладелец имел поле со сторонами 60 м и 45 м и диагональю 75 м. И тогда наш фиктивный, но блистательный Хаммурапи внезапно вскрикнул (по-шумерски) эврика. Он увидел, что, если для каждого из его полей, безотносительно к размерам, он возведет в квадрат длины его сторон и сложит два квадрата вместе, то результат будет равен квадрату длины диагонали. То есть все измерения, собранные его землемерами, удовлетворяют формуле:
где расстояние есть длина диагонали. Будучи экономным правителем, он мог теперь приказать своим землемерам экономить время и заработную плату и измерять только стороны полей, поскольку длину диагоналей он мог узнать сам. Конечно, он понимал, что, даже если они будут настаивать на использовании причудливых единиц этого царства, он все равно сможет узнавать длину диагонали, записав:
где C — множитель, необходимый, чтобы перевести ярды в метры, одна из глубоко чтимых фундаментальных констант этого царства. Здесь мы можем отступить от нашей мифической версии Хаммурапи, с его формулой, его эффективностью и его налогами. Более важно, что вечная польза, для которой он предназначал эту формулу, заключается в том, что он идентифицировал выражение, некоторым образом передающее свойства пространства Месопотамии. Неизвестный индиец, написавший Сульвасутру (Правила веревок), расчеты для таинственных сакральных церемоний священнослужителей ведической эры (около 500 лет до н.э.), тоже знал эту формулу, поскольку брахманы нуждались в надежно спроектированном и построенном прямоугольном алтаре. Китайцы Чжан Цан и Цин Чоу-чан, составившие в период Хань (начавшийся в 200 г. до н.э.) сборник, содержавший математические сведения, тоже знали ее. Как мы увидим, существование частной формулы для расстояния между двумя точками соответствует существованию геометрии, описанию пространства в терминах точек, линий, плоскостей и объемов, которые могут существовать в нем. Чтобы определить геометрию пространства, в котором мы обитаем, надо определить формулу. Определение геометрии пространства Месопотамии, данное Хаммурапи, потребовало двух шагов. Сначала мы должны определить единицы вдоль различных координатных осей; затем мы должны найти формулу, которая задает расстояние между двумя точками. Из того, что такая же величина C годится для Индии и Китая, следует, что пространство в Индии и Китае имеет ту же геометрию, что и пространство Месопотамии. Доказательство того, что формула Хаммурапи пригодна для любого поля всюду во Вселенной, а не только в Месопотамии, возможно, было сделано Пифагором и его школой, но надежные свидетельства того, что они сделали нечто большее, чем просто использовали ее, отсутствуют. Чтобы найти доказательство этой теоремы, мы должны обратиться к Началам Евклида, написанным примерно 2300 лет назад и с тех пор воспроизводимым, но причин полагать, что ее доказал сам Евклид, не существует. Евклид обнаружил, что он может вывести характеристики пространства, включая дедуктивную формулу Хаммурапи, из пяти простых и кажущихся очевидными утверждений, из своих «аксиом». Это было поистине замечательным достижением. Если бы я писал эту книгу 2000 лет назад, я обязательно включил бы аксиомы Евклида в число великих идей науки, поскольку, если не считать одного маленького дефекта, они удовлетворяют критериям, предъявляемым великой идее: они просты, но содержат неограниченно богатые следствия. Дефект, конечно, заключается в том, что они неверны (в том смысле, что они неточно описывают пространство, в котором мы обитаем); но мы можем ненадолго пренебречь этим и воздать Евклиду почести, которые он заслужил. Евклид сжал свое описание пространства в следующие пять замечаний:
(Я несколько упростил эти утверждения, но сохранил их суть.) Пятая аксиома известна как постулат о параллельных прямых. Он ответственен за большее количество бед, чем почти любое другое утверждение в математике, ибо он имеет более сложный вид по сравнению с другими, соблазнительно намекая, что его можно доказать с помощью четырех более простых аксиом. Целые жизни напрасно были растрачены на безуспешные попытки вывести эту аксиому из других. Теперь мы знаем, что она независима от других аксиом и что можно придумать абсолютно приемлемые геометрии, в которых постулат о параллельных прямых заменен другими, таким, например, как:
Или даже:
Описание пространства, использующее постулат Евклида о параллельных прямых, называется евклидовой геометрией; описания, основанные на альтернативных постулатах, называются неевклидовыми геометриями. Пока что мы сосредоточимся на евклидовой геометрии, так как она, безусловно, выглядит подходящей для пространства, в котором мы живем. В тринадцати книгах Евклида показано, что из этих пяти аксиом может быть выведено огромное количество свойств, и эти свойства оказываются верными при их проверке с помощью практических измерений. Одним из следствий этих аксиом, и, в частности, постулата о параллельных прямых, является теорема Пифагора. Поэтому существование нашей мифической формулы Хаммурапи для расстояния вытекает из пяти аксиом Евклида, и геометрия Хаммурапи тоже является евклидовой. Итак, мы сформулировали евклидову геометрию на плоскости, в плоской двумерной области, похожей на поверхность листа бумаги. Однако мы все знаем, или думаем, что знаем, что обитаем в трехмерном пространстве и обладаем свободой движения вверх и вниз так же, как по плоскости. Теорему Пифагора легко распространить на три размерности, включив длину третьей стороны и записав:
Мы не обязаны останавливаться на этом. Математики живут ненасытной страстью к обобщениям, и евклидова геометрия является богатой почвой для обобщений. Хотя большинство из нас не может вообразить что-нибудь за пределами наших домашних трех измерений, легко выразить свойства пространств больших размерностей, используя формулы. Так четырехмерная формула Пифагора будет иметь вид:
Вы могли бы подумать, что в размышлениях о пространствах с более высокими, чем три, размерностями мало пользы, если не считать интеллектуального удовольствия, но вы были бы неправы. Мы увидим, к примеру, что способность переходить из размерности в размерность является ценным способом изучения структуры нашего мира. Более того, можем ли мы быть уверены, что в нашем реальном мире имеются только три измерения, или есть несколько — даже много — других измерений, которые как-то спрятаны от нас? Мы видели в главе 8, что такой уверенности нет, так как, может быть, мы обитаем в десятимерном пространстве с дополнительным измерением в виде времени. Я утверждал, что наше воображение не может выйти за пределы трех измерений. Это не вполне верно. Некоторые люди, потратившие в жизни много времени на изучение геометрий более высоких размерностей, заявляют, что имеют некоторое отдаленное представление о связях, существующих в четырех, а не в трех измерениях, и создают ошеломляющие компьютерные образы, изображающие трехмерные сечения четырехмерного, мира (рис. 9.1).[45] Я не призываю вас направить ваши умственные способности по этому пути, но для подготовки к тому, что последует дальше, мы нуждаемся в некотором знакомстве с четырехмерными ландшафтами. Чтобы осуществить это, мы должны вновь пройти фрагменты пути интеллектуальной революции, инициированной итальянскими художниками в конце тринадцатого, начале четырнадцатого веков, такими как Джотто ди Бондоне и Пьеро делла Франческа, которые начали передавать три измерения в двух, используя перспективу, математические основы которой заложил в конце восемнадцатого века Гаспар Монж, граф де Пелоуз (1746-1818) в своей Géométrie descriptive (1798). Затем мы должны пойти дальше и увидеть, как четырехмерные объекты могут быть представлены трехмерными изображениями в двумерных проекциях. Все это звучит довольно сложно, ибо это все равно что просить муравья, который всегда был заперт в плоском мире, воспользоваться своим воображением, чтобы представить себе еще и вертикаль. Но мы интеллектуально оснащены лучше, чем муравьи, и можем ожидать, что достигнем некоторого прогресса. 
Ноль-мерный куб (0-куб) — это точка. Представьте себе 0-куб как карандашную точку, тогда одномерный куб (1-куб) является линией, которую карандаш рисует, когда его двигают по прямой (рис. 9.2). Двумерный куб (2-куб) является плоской фигурой, порожденной протаскиванием 1-куба в новом направлении, лежащем перпендикулярно первому. Все это легко воспринять с помощью компаса нашего воображения, так же как и воображения смышленого муравья, и легко проделать на листе двумерной бумаги. Трехмерный куб (3-куб), заурядный повседневный куб, порождается протаскиванием плоского 2-куба в направлении, перпендикулярном его плоскости. С тем, чтобы вообразить этот шаг, проблем не возникает, хотя муравей был бы озадачен, поскольку ему не дано понять, как может существовать третье перпендикулярное направление. Не возникает проблем и с представлением 3-куба на 2-странице, обычном листе бумаги, поскольку мы теперь так хорошо знакомы с двумерными представлениями в искусстве, что расшифровываем эти представления без труда. 
Когда множество из шести точек прорывается сквозь поверхность Земли и выходит во внешнее пустое пространство, решение Шварцшильда для внутренней области уступает место решению для области внешней. Теперь геометрия пространства-времени является «приливной», в том смысле, что две точки на линии, перпендикулярной к поверхности, движутся друг от друга вдвое быстрее, чем движутся друг к другу четыре точки, лежащие в плоскости, параллельной поверхности, так, что объем, заключенный между ними, остается постоянным. Мы можем представить себе влияние на пространство как растяжение в одном направлении (вдоль направления, указывающего на вносящую искажение массу) и сплющивание в двух перпендикулярных направлениях. Приливным эффектом без сомнения можно пренебречь: приливный эффект на Земле достаточен для того, чтобы исказить сферическую форму весьма неподатливой Луны всего на 1 км. Приливы в наших океанах как раз и являются проявлением влияния Луны на геометрию пространства-времени у поверхности Земли, с проявляющимся дважды в день вспучиванием геометрии на линии Земля-Луна. Поэтому, когда вы стоите на берегу и созерцаете спад и подъем прилива, вы наблюдаете тень геометрии Шварцшильда, пробегающую по поверхности Земли. Король Канут Великий[47] (994?-1035) не смог удержать геометрию в бухте. Мы можем приписать кривизне численное значение. Радиальная кривизна (кривизна плоскости с одной осью вдоль радиального направления, а другой временной) равна −2 × масса / радиус3, где радиус есть расстояние рассматриваемой точки от центра сферической концентрации массы (звезды или планеты, рис. 9.17). Заметим, что эта кривизна является отрицательной (седлообразной), в точности как на листе резины в области вне зоны, где покоится шар. Каждая из двух плоскостей с одной осью вдоль направления, перпендикулярного радиальному, а другой временной, имеют кривизну, равную масса / радиус3. Эта кривизна положительна, поэтому мы можем представлять себе каждую из этих двумерных поверхностей похожей на поверхность сферы. Эти значения кривизны сохраняют объем 3-куба, поскольку растяжение в одном направлении компенсируется более слабым сжатием в двух перпендикулярных направлениях. Более того, кривизна тем меньше, чем больше мы удаляемся от центра Земли, и на больших расстояниях от Земли пространство-время является плоским. Еще одной чертой геометрии Шварцшильда является замедление хода часов, расположенных вблизи массивного объекта. Значение доли замедления по отношению к ходу часов, находящихся далеко от массивного тела, равно масса / расстояние, где расстояние есть расстояние от центра массивного тела. Если бы мы рассматривали влияние массы Земли на часы, помещенные в самолет, мы должны были бы принять в расчет, что они идут быстрее, чем часы на уровне моря (потому что самолет немного дальше от центра Земли, и его область пространства-времени немного меньше искривлена), но время бежит медленнее из-за того, что самолет находится в движении. Масса Земли мала, поэтому влияние движения коммерческих авиалайнеров мало. Тем не менее в кругосветном путешествии на высоте 10 000 м со скоростью 850 км/час гравитационный эффект ускоряет часы примерно на 0,2 микросекунды, в то время как влияние скорости замедляет их только на 0,05 микросекунды. Проверка общей теории относительности, проводимая таким методом, в реальности принимает в расчет влияние посадки и взлета, так же как изменения скорости самолета во время полета. Почему мы уделили так много внимания геодезическим в пространстве-времени? В пустом пространстве частицы движутся по прямым линиям. Другими словами, они движутся по геодезическим плоского пространства-времени. Это наблюдение подчеркивает важность геометрии при определении путей. Когда пространство-время искажается в присутствии массы — при подходе ближе к звезде, — частицы продолжают двигаться по геодезическим, но эти геодезические искривлены. В действительности кривизна пространства-времени в окрестности массивного тела, подобного звезде, может быть столь велика, что геодезические сворачиваются в спираль. Иными словами, по мере течения времени, планета выглядит движущейся вокруг звезды по почти повторяющимся, очень близким путям, почти по эллипсам. То есть планета движется в пространстве-времени по геодезической, описываемой в пространстве почти замкнутой орбитой. Вдалеке от звезды — скорее как возле Плутона, чем возле Меркурия — пространство искривлено меньше, и планете приходится дольше бороздить пространство-время, прежде чем путь почти замкнется. Другими словами, по удаленным орбитам планеты движутся медленнее, чем по орбитам близким к звезде. На самом деле пути планет не являются совершенными эллипсами: они следуют немного иным путем при каждом новом обороте и для наблюдателя, способного видеть лишь пространство, описывают нечто вроде «розетки» вокруг центральной звезды. Объяснение точной формы подобного розетке пути Меркурия — так называемой прецессии перигелия — было одним из первых успехов общей теории относительности (рис. 9.18). 
Мы уничтожили гравитацию. Теперь мы понимаем, что движение планет не является реакцией на силу, называемую тяготением, а просто представляет собой естественное движение тела вдоль геодезической пространства-времени. Иначе говоря, движение есть проявление геометрии. В описании пространства-времени, изложенном выше, существует очень большая проблема: в достаточно малом масштабе геометрии, по-видимому, не существует. Одной из грандиозных проблем современной физики является объединение общей теории относительности и квантовой теории (глава 7) в квантовую теорию гравитации. Несмотря на огромные усилия и несмотря на значительный прогресс, ученые еще не создали объединенной теории. В настоящее время такой теории, как «квантовая теория гравитации», не существует: на ее месте располагается множество умозрений, большая часть которых весьма спорна, выраженных с разными степенями математической изощренности. Однако, когда объединение будет достигнуто, все ожидают, что оно произведет революцию в наших представлениях о пространстве и времени, которая, вероятно, будет более мощной по своему воздействию, чем даже революции, вызванные появлением теории относительности и квантовой теории. Однако, несмотря на туманную природу современных научных представлений о квантовой теории гравитации, имеется несколько свойств, которые, как можно ожидать, она будет иметь. Одно свойство проистекает из того факта, что, вопреки кажимости, мы приняли довольно-таки старомодный взгляд на природу пространства-времени, взгляд, в принципе мало отличающийся от ньютоновского понимания пространства как арены. Конечно, мы сделали описание более изощренным, объединив пространство и время и снабдив получившееся пространство-время неевклидовой геометрией, зависящей от присутствия массы. Но здесь все еще присутствует ощущение, что пространство-время является ареной действия, на которой разыгрываются все события, происходящие в мире. В квантовой теории гравитации это ощущение арены рассеется, а события сами по себе будут определять Вселенную. На самом деле, возможно, нет никакой арены: то, что мы принимаем за Вселенную, есть не более чем огромная сеть взаимосвязанных событий. При таком восприятии уравнение Эйнштейна превращается в утверждение о причинной структуре связей между событиями. Вторым свойством квантовой теории гравитации является то, что в достаточно малом масштабе исчезает само понятие пространства-времени. То есть пространство-время больше нельзя рассматривать как континуум (причинно связанных событий), оно оказывается более похожим на пену (рис. 9.19). Наименьшим возможным пространственным промежутком, разделяющим события, является расстояние, которое мы раньше назвали планковской длиной, а наименьшим возможным промежутком времени между ними является тот, который мы назвали планковским временем. 
Планковская длина составляет примерно 10−35 м, что на двадцать порядков меньше диаметра атомного ядра, поэтому неудивительно, что мы, существа чудовищного размера, обладающие очень грубыми возможностями восприятия, ошибочно принимаем пространство-время за континуум. Наименьшая поверхность, способная существовать в пространстве-времени, имеет площадь, близкую, к квадрату планковской длины, а наименьшая трехмерная область, которая может существовать, имеет объем, приблизительно равный кубу планковской длины. В общепринятых единицах планковское время соответствует 10−43 с, поэтому никакие два события не могут располагаться во времени ближе друг к другу. Даже процесс, занимающий миллисекунду, должен состоять из 1040 компонент. Никакие часы не могут тикать быстрее, чем 1043 раз в секунду. Так же как существует абсолютный минимум температуры («абсолютный ноль») в обычной физике, квантовая теория гравитации показывает, что существует также и ее абсолютный максимум, около 1032 К. При этой температуре плавится само пространство-время. Большой Взрыв, ознаменовавший начало Вселенной, был, возможно, не столько драматическим огненным фейерверком, сколько космическими заморозками, которые вморозили пространство и время в последовавшее за ним бытие. Геометрия и все то, из чего для нас образуется этот мир, является вмороженным отпечатком причинности событий. Примечания:4 Не совсем так, энтропия в конце концов уничтожает и информацию. — Прим. пер. 45 Анимированный стереоскопический образ вращающегося гиперкуба вы найдете на сайте: http://dogfeathers.com/java/hyprcube.html. 46 В настоящее время G = 6,67428·10−11 м3·с−2·кг−1. 47 Король Англии (1016-1035), Дании (1018-1035) и Норвегии (1028-1035) — Прим. пер. |
|
||
| Главная | В избранное | Наш E-MAIL | Добавить материал | Нашёл ошибку | Наверх | ||||
|
|
||||
